数学思维经验积累的有效途径

杨国华

数学教学既要让学生掌握一定的知识技能，同时也要让学生在特定的数学学习活动中发展思维，积累数学活动经验。数学活动经验有操作的经验、合作的经验、思维的经验等。而数学思维经验只有在学生真正参与、经历知识形成的全过程中才能不断积累。思维经验是一种感悟和体验，是学生数学能力发展的基石，是学生数学思维品质提升的源动力。笔者将以“图形的分割”一课为例，来试谈如何让学生积累数学思维经验。

一、在互动中探究路径

在数学教学中往往有这样一种现象，学生会解题但不会思考，原因在于教师在平时的教学中不太注重让学生经历思维的全过程。事实上，数学教学应该让学生感受到问题解答的最初思考，即是如何想到这样解答的，而不仅仅是获得某个问题的答案。如此，学生就会逐渐形成爱思考的意识，遇到问题时就会从不同的方向探究问题解决的路径。

师：这些平面图形你认识吗？

（在此过程中教师交代了正方形也叫正四边形，同时引导学生认识了正六边形与正八边形。）

师：如果要画一条直线把正六边形分成面积相等的两部分，可以怎样画？（师生交流后，教师依次用课件演示沿正六边形的对角线画的三条直线）像这样的直线有多少条？

生：这样的直线共有六条。（该生把自己画的图进行了展示，如右图：）

师：还有其他的画法吗？（学生均表示没有了）咱先别忙着下结论好吗？我们可以先选取一个熟悉的图形来进行研究，你准备选择哪一个图形呢？

生：正八边形。

生：正方形。因为我们最熟悉正方形，而且它像正六边形、正八边形一样也是一个正多边形。

【反思】开课简明，没有纠缠于“把正六边形分成面积相等的两部分的直线到底有多少条”，而是在师生互动中很快把思路引到研究正四边形上来，让学生感受到“研究问题”遇到困惑时要探究不同的路径，思维不能受到局限。华罗庚教授曾说：“在解决数学难题时，我们要学会知难而‘退，要善于退，足够的退，退到简单而又不失关键的地方……”此处也正影射了“难的不会想，想简单的”这一数学思想。

二、在定势中寻求知识点突破

在生活中有很多事情看起来正确，但往往经不起推敲，而这种现象的成因有时却是错误思维定势造成的。笔者曾做过随机访谈，对象是本校教师，问他们“如果要用一条直线把正方形或正六边形分成面积相等的两部分，分别有几种不同画直线的方法”，被访者几乎无一例外地快速回答“分别有四条和六条”。这也就使得教师在执教时，对学生这种可能的错误思维定势应该予以关注，并寻求突破。

师：你能画一条直线把正方形分成面积相等的两部分吗？可以先折一折，再画一画。（学生用事先准备的正方形纸进行了动手操作，并很快得出如图的四种答案）

师（指着第二幅图）：图中竖着的这条线叫什么呢？

生：轴对线。

生：不对，应该叫这个图形的对称轴。

师：刚才大家都是通过对折的方法找到了“对称轴”（师课件出示：）把正方形进行平分的，那还有其他的方法把正方形分成面积相等的两部分吗？你们可以画一画、剪一剪。（学生动手操作，尝试寻找不同的方法）

生（激动）：老师，我找到了（如右图：）。

（此时，有学生说他是瞎找找的，该生马上表示反对，并说是有方法的，随后教师在学生中又发现了类似但在画法上“方向”不同的几幅作品并进行了一一展示）

此时，教师用课件把学生先前的若干种情况合并成一幅图，具体如下：

师：你们发现了什么共同特点？（学生讨论）

生：它们都经过了正方形的中心点。（师让学生找出自己手中正方形的中心点）

师：反观刚才部分同学的作品（如右图：），你们认为是否把正方形分成面积相等的两部分了？

生：没有，因为它没有经过中心点。

师：那是否经过中心点的直线都能把这个正方形分成面积相等的两部分？你能不能验证给大家看呢？

（学生相互讨论、合作，很快便有学生用剪刀沿过中心点的直线把手中的正方形剪成了两块，并通过旋转使左右两块图形完全重合）

师：像这样的直线有多少条？（生分组讨论后汇报交流）

生：有无数条。

生：但所画的这些直线一定要经过中心点。

生：我们组同意前面两组的想法，但我们组还猜想如果把正六边形或正八边形分成面积相等的两部分，也应该有无数条直线。

【反思】学生受思维定势的影响，思考不够深入，这是预料之中的，但教师没有急着把答案“奉献”给学生，而是给学生时间和空间，让他们在操作、合作中寻求突破——所画直线均应通过正方形的中心点，这正是本节数学课教学的关键所在。此处虽然用时较多，但还是值得的，学生在探寻方法的过程中思考着、经历着，有成功亦有失败，这种体验对学生来说是深刻的。他们在交流中相互启迪，概念逐渐明晰，甚至有学生已经急不可耐地把结论进行推广，这足可说明学生有了收获的喜悦，有了破茧而出的快感。

三、在推广中深化认知，提升思维品质

在问题探究的进程中，学生通过独立思考、合作交流形成了自己的想法，往往会急于运用和表达，这正体现出学生的思维已经得到发展。但学生的认知是否得到深化，还要看他们遇到相关数学问题时能否触类旁通、举一隅而反三。事实上只有把某一个数学结论自觉进行验证、推广和运用，思维方式在运用中自觉迁移，甚至形成结构化认知模型时，才能说明学生的思维正逐渐走向深刻。

师：你们已经开始往更深一层想了，真是了不起。那如果画一条直线把一个长方形分成面积相等的两部分，分成的图形分别是什么样？像这样又有多少种不同的分法？可以动手画一画、比一比。（学生动手操作后交流，同时汇报得出的结论：沿中心点画直线，有无数条）

师：根据刚才获得的学习经验，有同学说“如果画一条直线将正六边形或正八边形分成面积相等的两部分，也应该有无数条直线”，这种说法不知是否正确，请同学们互相交流。

（学生交流后一致同意：要将正六边形或正八边形分成面积相等的两部分，确实有无数条直线，但每一条直线都要经过图形的中心点）

师：那正十二边形要分成面积相等的两部分，情况会怎样？正一百边形呢？

（学生很快回答：只要经过中心点画直线，都能把正十二边形或正一百边形分成面积相等的两部分，且分别有无数条）

【反思】此处教学看似无心，实则有意。教师其实是在“迂回的教学”过程中放大了学生对成功的体验，虽然有学生提出对“正六边形、正八边形”分割情况的猜想，但在这个教学场中，教师延长了学生的高峰体验：正方形有此特征，那长方形是否也具有相同的情况呢？这激发了学生的深度思考，在进一步的探究中发现“规律”是具有普适性的。这节课对“画一条直线将正六边形分成面积相等的两部分，有多少种画法”的思考本是要重点探求的问题，但在此处自然而完美地进行了结论的验证、推广和运用，深化了学生的认知，提升了学生的思维品质。

四、在反思中积累经验

学生数学思维经验的积累“经历知识形成的过程”非常重要，但引导学生“回头看走过的路”，对探索过程进行反思更应该值得关注。学生在反思中往往可以让内隐的思维经验外显化，并可让具有鲜明个体特征的思维经验与同伴分享。

师：今天这节课，你有哪些经验和方法与大家分享呢？

生：要想把正方形、长方形、正六边形……分成面积相等的两部分，在画直线时都要经过这些图形的中心点。

生：像这样的直线都有无数条。

生：我还知道，遇到难一点的问题如果不会，可以从简单的问题入手研究。比如今天一开始是问“正六边形”的情况，较复杂，那我们就可以从正方形这种简单的情况进行研究。

生：有时不能仅从正方形一种图形就得出结论，还要看看像长方形等是否也有这种规律，然后才能把这个规律推广运用。

……

师：这就是我们今天要学习的“图形分割”问题。学到现在你们还有什么问题要问吗？（学生分小组进行了简单交流）

生：我们没有问题了。

生：今天学习的正多边形的边数都是双数的，我们组的问题是：如果边数是单数的，结果也会像今天这样吗？

……

【反思】通过反思，学生不仅回顾了所学知识，更深刻体悟到“难的问题不会解决可以想简单的”这一朴素而又具有普遍意义的数学思想。同时，笔者认为，成功的数学教学，还应当使学生的问题意识不断得到发展。虽然已到下课时间，在学生的反思中，不乏又有新的问题产生，即“单数边的正多边形，也会有这样的结果吗”，这不能不说学生在本节课的学习中已经学会了思考，他们的思维经验正在不断地积累与完善之中。

这是一节真实而充满智慧的数学课，在教学中让学生经历了思维的全过程，积累了一定的数学思维经验，彰显了数学的理性力量。

在本节课的教学中可以看到，教师清晰认识到学生认知上存在的障碍：不管是正方形、正六边形还是正八边形……要想用一条直线把相应的图形分成面积相等的两部分，大多数人找不准到底有多少种分法。事实上，仅作为本节课的结论而言是比较简单的，但教师并没有把教学的目标直接指向结果，而是给了学生思想的自由，给了学生活动的空间和时间，让他们在动手操作、合作交流中亲身经历解决实际问题逐渐形成思维模型并进行推广运用的全过程。在学习过程中，深化了学生的原有认知，尤其是课尾的反思环节更是体现了教师的教学智慧，学生在思辨中问题意识和探究意识得到进一步增强，思维经验得到了提升。

（江苏省金坛市金城镇中心小学 213200）