数学教学中常见解题错误分析及解决策略

祝东应，徐丽华

教师认真分析学生出现的解题错误，可以充分了解学生的错误思维过程，从而改进习题教学方法，促使学生对知识的理解与运用。那么，在实际教学中，教师该如何探寻学生错误的成因，并通过行之有效的解决策略，使这些错误资源成为学生学习新知的生长点呢？对此，本刊特推出一组文章，供教师参考探讨。

美国心理学家桑代克认为，“学习是一种渐进的尝试错误的过程”，没有错误就没有真正意义上的学习。而面对学生已出现的错误，教师应该认真分析学生出错的原因，促使学生充分暴露错误的思维过程，然后通过行之有效的改进，促进学生对知识的理解与运用，最终让这些错误资源成为学生学习新知的生长点。

问题一：粗心大意审题不严

由于没有建立起良好的学习品质，一些学生见到题目就急于解答，审题时往往走马观花，没有正确提取题中的有效信息，从而导致解题错误。

【案例1】

题目：401班五人参加数学学科知识竞赛，除小林外其余四人的平均分为73分，小林的分数比五人的平均分还要高16分。小林这次数学学科知识竞赛考了多少分？

误解：73+16=89（分）

分析：题中73分是除小林外其余四人的平均分，而小林的分数是比五人的平均分还要高16分，不是比四人的平均分高16分。学生在审题时粗心大意，没有正确理解题目意义，导致出现这种错误。要想求小林的分数，只要求出五人的平均分。小林的分数比五人的平均分还要高16分，这16分就是用来补足四人平均分与五人平均分之间的空缺。除小林外的四人每人能补16÷4=4分，五人平均分为73+4=77分，小林分数为77+16=93分。可以采用下图来理解。

正解：73+16÷4+16=93（分）

学生犯此类错误的例子还有很多，如1小时20分钟=（ ）分钟？学生在初学时很容易认为答案是120分钟。

策略一：突出主体观念，建立良好的学习品质

当学生发生错误时，教师应该引导学生从自己认知的角度，通过分析、比较、判断等过程，最终解决问题。教师在教学中还需要从学生的实际出发，培养学生认真审题、验算的学习品质，良好的数学学习品质可以使学生终身受益。认真审题就是看清题目的要求，弄清题目的算理，让学生在题目的关键部位做上标记，以便加深对题目的理解。认真验算是保证解题正确性的关键，在教学中教师要让学生体会验算的必要性，把验算作为解题过程的基本环节之一，真正做到数学结果形成的过程与数学结果并重。

问题二：思考不全面，对题目中隐含的条件未能正确提取

数学题中经常会有一些虽然没有明显呈现，却又对解题起着至关重要作用的信息，这些信息有一定的隐蔽性，很容易被学生所忽视，进而导致解题出现错误。

【案例2】

题目：一位富豪有350万元的遗产，在临终前，他对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是男孩，就把遗产的三分之二给儿子，妻子拿三分之一；如果生下来是个女孩，就把遗产的三分之一给女儿，三分之二给妻子。结果他的妻子生了龙凤胎（一男一女），按照遗嘱的要求，妻子可以得到多少万元的遗产？ （2004年全国小学奥林匹克数学竞赛A卷）

误解一：按照生男孩妻子可以得到三分之一的遗、产生女孩可以得到三分之二的遗产的遗嘱，所以妻子一共可以得到： 350×+350×=350（万元）。

误解二：因为妻子生了一男一女，所以首先将财产平均分成2份。在第一份中妻子得到三分之一，在第二份中妻子得到三分之二。所以妻子一共可以得到：×350×+×350×=175（万元）。

分析：因为富豪的遗嘱是基于妻子分别生男孩和生女孩这两个独立的事件，所以很多学生也都是将题中的两个条件割裂开来，因而得出以上两种错误的解法。妻子最后生了一男一女，隐含了需要将题中的条件综合起来分析，而这很容易被学生忽视。通过题意可以得出：若生男孩，儿子和妻子所得的遗产比为2∶1；同理，女儿和妻子所得遗产的比为1∶2。所以三人遗产的分配比为：儿子∶妻子∶女儿=4∶2∶1。

正解：综合以上分析，妻子能得到的遗产为350×=100（万元）。

策略二：强化认知冲突，寻求问题解决

教师在发现学生出现错误后，应引导学生将错误答案与正确答案进行对比，进而分析出错的原因，找出题中的隐含条件。由于有了认识冲突的存在，就能激发学生的兴趣，调动学生的积极性，进而引发学生的积极思考。教师应当给予学生充足的时间和空间去经历猜想、验证的活动过程，培养学生对信息进行深入观察、比较分析的能力。学生在平时的学习中要善于积累，积极寻求不同的解题方法，促进解题思维的灵活变通。

问题三：数学概念混淆

概念是抽象的，学生对含义相近的概念容易混淆，从而在解题中出现错误。

【案例3】

题目：两杯重量相等的盐水，第一杯盐与水的重量比为2∶5；第二杯盐与水的比为1∶3。将这两杯盐水混合均匀，盐与水的比为多少？

误解：因为这两杯盐水的重量相等，所以将两杯盐水中的盐与水的份数分别相加，再求比：（2+1）∶（5+3）=3∶8。

分析：混合盐水中的盐与水的比≠两份盐水中盐与水的份数分别相加之比。尽管两杯盐水重量相同，但份数不同，第一杯为2+5=7份，第二杯为1+3=4份，所以每份对应的量也就不同，因此不能简单地相加。

正解：第一杯盐与水的比为2∶5，即盐占整杯盐水的，水占。

第二杯盐与水的比为1∶3，即盐占整杯盐水的，水占。

（+）∶（+）=15∶41

类似的还有“平均速度≠速度的平均值”等，如小明从家去学校，平均每小时行4千米；下午放学回家，平均每小时行6千米。小明上学与放学回家的平均速度为多少？（解法略）

策略三：深化概念教学与强化学习的正迁移

首先，深化数学概念教学就是在学生认识概念的基础上，对概念进行分析，以达到透彻理解并掌握概念的目的。对于较难的复杂的概念，突出关键词并逐层剖析，如“最小公因数”就可以分解成“最小”与“公因数”这两个概念的结合；相关的概念，注意类比，把一类相关概念结合在一起进行比较教学，可以加深对概念的理解。如比例与比值，整除与除尽，平均数、中位数与众数等。其次，在对概念理解的基础上，强化知识学习的正迁移。教师在教学过程中应注重对学生注意力、想象力、记忆力等的培养，并对概念开展必要的比较分析，帮助学生加深对概念的理解和辨别，增强学生的概念分析能力和解题能力，学生对概念的理解越深刻，所形成的知识结构越清晰，也就容易形成对知识的正迁移。

问题四：形成思维定势，思考不深入

所谓思维定势指的是先前的学习活动造成的对另一种学习活动的特殊心理准备状态。在条件不变的情况下，思维定势能够使人用已掌握的方法迅速解决问题，如果解题情境发生变化，它会妨碍人们采用新的方法去解决问题，束缚创造性思维的发展。

【案例4】

题目：王大伯想用24米长的篱笆靠墙（CD）围成一个长方形的菜地，如何围才能使得菜地的面积最大？

D C

A B

误解：根据“周长一定，围成的长方形中正方形的面积最大”去解题，将24米长的篱笆平均分成3段，即靠墙围成一个边长为8的正方形，此时面积为8×8=64（平方米）。

分析：“周长一定，围成正方形的面积最大”，但此时24米的篱笆不是围成一个正方形，而只有3条边，这实际是一个大正方形的一半。

设AB=x，AD=y，则x+2y=24。要使长方形的面积最大，就是使得x·y取最大值，根据不等式定理：x·y=·（x·2y）≤·（）2=·（）2=72（平方米），且仅当x=2y时取得最大值。这类围成正方形或靠墙围成长方形，求面积的最大值，其实质都是围成的长方形中，所有长=所有宽=总长。运用这个结论可以解决类似的更复杂的问题，如不靠墙（直接围成正方形）、靠一面墙或靠两面墙围成一个或多个长方形的问题。

正解：在这题来说就是x=2y=，即围成的长方形的长：x=12米，宽：y=6米，最大面积为12×6=72（平方米）。

类似的思维定势还存在于学生学习乘法分配律时，如12×2+12×4=12×（2+4），学生很容易就认为12÷2+12÷4=12÷（2+4），从而出现错误。

策略四：发展学生求异思维，开展变式训练

针对思维定势，教学中教师要培养学生质疑的精神，发展他们的求异思维，养成独立思考解决问题的习惯。教师需要精选一些能训练学生解题思路、提高解题能力的例题进行分析，在分析过程中开展对学生进行一题多解、一题多变的变式训练，激发学生解题的欲望。还可以多举一些看似可用同样的方法解决，实际却需要另一种方法去解决的数学例题，让学生感受到题目之间的本质区别，使学生突破思维定势，达到良好的学习效果。

问题五：数学知识模型与生活实际问题之间存在理解偏差

【案例5】

题目：如图所示，在公路m的同一侧有A、B两个村庄，要想在公路上找一点，修路到这两个村庄，应如何设计路线，使得所修的路程最短？

偏解：如图，根据“三角形三边关系”及“两点之间线段最短”的定理得出：作A点关于直线m的对称点C，连结BC，交直线m于D点，则D点为所要找的点，修路长度为AD+BD。

分析：找出一点修路到两个村庄，并不就一定是指自该点分别修路到A、B，实际生活中所修的公路可以有公共的部分，这样就可以求得更小值。

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫作这个三角形的费马点。

1.若△ABC的3个内角均小于120°，在其内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

2.若△ABC有一内角不小于120°，则此钝角的顶点就是三角形的费马点。

根据以上费马点定义，在△ABD中一定存在一点P，使得PA+PD+PB≤AD+BD，即所修最短路程不一定就是AD+BD，还有可能是PA+PD+PB等，这取决于费马点的位置。

全解：

（1）如图1，若∠ADB≥120°，则费马点就为D点，所修公路为AD+BD最短。

图1 图2 图3

（2）如图2，若∠DAB≥120°，则费马点就为A点，存在有AD+BD≥AD+AB≥AB+AE（仅当AD⊥m时取“=”）。所修公路为AB+AE最短。

（3）如图3，给出的△ABD三个内角均小于120°时，此类型相当于在直角梯形ABEC中找到P点，使得P点到A、B以及直线m的距离之和最小。根据费马点定理，作∠CAP=∠EBP=60°，AP与BP交于P点，过P点作直线m的垂线，垂足为D，则D就是所要找的位置。存在PA+PD+PB值最小。

策略五：密切知识模型与生活实际的联系

数学知识源于生活而最终服务于生活，在应用数学知识解决问题时，教师需要指出数学知识与实际生活模型的结合点，让学生多思考知识的应用条件，以及实际生活中的限定条件与变通条件。

新课程标准指出，数学课程应致力于使人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。教师在教学过程中要善于抓住学生出现的错误，发现错误背后隐含的教育价值，引导学生通过猜测、推理、验证等活动过程，带着错误去寻求解决问题的正确方法。这样，将学生的错误成为重要的课程资源，就能使每个学生在其认知基础之上得到不同的发展。

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 邓友祥.小学生解题心理性错误原因分析与对策[J].现代中小学教育，1999（7）.

[3]马文杰，罗增儒.数学题中“隐含条件”的解题功能研究[J].数学通讯，2010（8）.

[4]叶弈乾，何存道，梁宁建主编.普通心理学[M].上海：华东师范大学，1997.

[5]朱文娟.小学数学课堂学习错误资源有效利用的方法[J].数学学习与研究，2011（20）.

（杭州师范大学初等教育学院 310036）