圆锥曲线焦点弦的六个性质

莫记福

高中所学的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的焦点弦有许多共同的性质，本文研究其中的六个性质及其简洁证明，供读者参考.首先要指出的是，本文研究的双曲线的焦点弦是指过焦点且端点在同一支上的弦.

性质一：圆锥曲线过焦点的所有弦中，通径最短.

对于椭圆，证明如下：如图1，设椭圆方程为x2a2 +y2b2 =1（a>b>0）

，右焦点为F（c，0），右准线l的方程为x=a2c ，l与x轴交于点E，过焦点F作一直线与椭圆交于A、B两点，记AB的中点为C，分别过点A、B、C作直线l的垂线AM、BN、CD，垂足分别为M、N、D，则由椭圆的第二定义得：