猜猜乒乓球比赛谁会赢排列组合高考知识复习点拨

王宇

两个计数原理是基础

1.分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

注意：使用分步计数原理时，一定要分清哪几个相关步骤，恰当分步。

应用“分类计数原理”解题时要明确：

（1）什么是“完成一件事”。

（2）分类时，要保证每一类办法均可以独立完成。

（3）每个问题中，标准不同，分类也不同，首先要根据问题的特点，确定一个适合的分类标准，然后在这个标准下进行分类。

（4）不重不漏。

理解题意，选对方法是关键

考排列组合题目往往设定一定的背景，和实际问题结合在一起。读懂题意，弄明白题目的要求是第一位的。题意要求决定用什么方法解题，如何分步如何分类，有无“序”的要求决定是用排列还是组合。是否存在对“特殊位置”、“特殊元素”的处理。

先来看两道2012年的高考真题，感悟下高考题目对这部分知识的考核。

例：（2012年北京）从0，2中选一个数字。从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数。其中奇数的个数为（ ）

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种选择）， 之后十位（2种选择），最后百位（2种选择），共12种。

如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是0，一种情况），共6种，因此总共12+6=18种情况。

【答案】B

例：（2012年辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为：

（A）3×3！ （B） 3×（3！）3 （C）（3！）4 （D） 9！

【解析】此排列可分两步进行，

先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，

三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法，

因此不同的坐法种数为。

【答案】C

介绍几种方法：

1.相邻问题——捆绑法

例：6人站成一排，其中甲乙两人必须相邻有多少种不同的排法？

解析：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排——先捆后松。

2.不相邻问题——插空法

例：6人站成一排，其中甲乙两人不相邻有多少种不同的排法？

解析：除去甲乙两人的其余四人全排列，四人全排列出现五个空位如图：

ABCD表示其余四人，甲乙两人可在五个空位选两个位置，即满足题意。

小结：还可以用6人全排列减去甲乙两人不相邻的情况。

3.特殊元素、特殊位置——优先考虑法

例：羽毛球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？

解析：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有6种排法，其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有42种排法，所以不同的出场安排共有 252种。

4.隔板法

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例：有10个参观名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

解析：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。

5.分组（堆）问题

分组（堆）问题的六个模型：

①有序不等分；②无序等分；③无序局部等分；④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分。

处理问题原则：

①若干不同元素“等分”为m个堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m！。

②若干不同元素局部“等分”有m个均等堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m！。

③均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积。

④明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列。

例：有四本不同的书，要发给三个同学，要求每个同学至少要得到一本书。共有多少种不同的分配方式？

解析：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：

（1）将四本书分为三“堆”，有

（2）将分好的三“堆”依次给三个同学，有3！=6种给法。

∴共有6×6=36种不同的分配方式。

典型题目记心间

其实排列组合问题，有很多问题只是在考核时，修改了我们常见题目的背景，或是替换了某种表达方式，让我们同学们觉得很陌生，一时理解不到位，在这里建议同学们对复习过程中的典型题目能非常熟悉，比如组合数字问题往往是特殊元素、特殊位置问题的处理，分配问题是否要考虑除以m！剔除重复项，位置排列问题可以出现的题目更是数不胜数，最后给大家推荐几道笔者认为近几年高考题中不错的几个小题目，仅供大家参考。

例：（2012年山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为：

（A）232 （B）252 （C）472 （D）484

【解析】方法一： ，

方法二：

【答案】C

例：（2012年陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有：

（A） 10种 （B）15种 （C） 20种 （D） 30种

【解析】先分类：3：0赢，3：1赢，3：2赢，每种情况再分析就很简单了。

【答案】C

例：（2012年浙江）若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有：

A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：

4个都是偶数：1种；

2个偶数，2个奇数： 种；

4个都是奇数： 种，

∴不同的取法共有66种。

【答案】D