几何概型中典型错误案例分析

陈洪强

摘 要： 几何概型是区别于古典概型的另一类等可能概型，将研究有限个基本事件过渡到研究无限多个基本事件。求解几何概型的概率，最关键就是分析基本事件的构成以及“测度”的寻找；对于一个具体的问题能否用几何概率模型公式计算其概率，关键是能否将问题几何化，从建立的几何模型入手，来解决概率问题。

关键词： 几何概型；概率；测度

本文为《高中数学课堂教师有效指导学生学习策略的研究》课题研究成果

在高中阶段的概率求值题中几何概型占了很大的一部分内容，在高考中也是一个难点。那么什么是几何概型呢？简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 几何概型是区别于古典概型的另一类等可能概型，将研究有限个基本事件过渡到研究无限多个基本事件。求解几何概型的概率，最关键就是分析基本事件的构成以及“测度”的寻找；对于一个具体的问题能否用几何概率模型公式计算其概率，关键是能否将问题几何化，从建立的几何模型入手，来解决概率问题。一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域D内”为事件A，则事件A发生的概率为：

这里要指出：D的测度不能为0，其中“测度”的意义依D确定。当D分别为线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别为长度、面积、体积、有时也为角度等。在求解几何概型的概率问题时，学生常常因为对“测度”不理解，导致了对题目无从下手。

本文列举3个典型错误案例来浅谈几何概型的问题：

【例题1】：在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于■的概率是___。

典型错误：x+y的范围是（0，2），用（0，■）的长度除以（0，2）的长度，得到概率为P（x+y<■）=■=■。所以概率为P（x+y<■）=■*■*■=■。

典型错误分析：为什么会出现两种不同的结果？用长度为测度，也就是用（0，2）内每个点表示不同的基本事件，这样一来，x+y=■与x+y=1发生的可能性被认为是一样大，而事实上是不一样大的。 因为x+y=■与x+y=1包含的基本事件不一样多，即不符合几何概型的定义，所以0

正确解法：（如图1）。题目中有两个变量，即x、y，建立平面直角坐标系，取（1，0）、（0，1）、（1，1）、（0，0）为顶点做个正方形，然后取（■，0）、（0，■）、（0，0）为顶点做个三角形

【例题2】：在5升水中有两个病毒，现从中随机地取出一升水，含有病毒的概率是多大？

典型错误：因为病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，所以含有病毒的概率P=■。

典型错误分析：因为在5升水中含有两个病毒，我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙，随机地取1升水，由上题我们可知含有病毒甲的概率为■，含有病毒乙的概率也是■，而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况，所以应当将这种情况去掉。

正确解法：记“取一升水，含有病毒甲”为事件A；“取1升水，含有病毒乙”为事件B，则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件A、B。

从而所求的概率为

【例题3】在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在△ABC的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率？（如图2）

典型错误：如图3，在△ABC中，线段AB上取一点E，使AE=AC，在∠ACB内作一条射线CM，求得概率为：

正确解法：如图4，由于在∠ACB内作射线CM，等可能分布是CM在∠ACB内的任一位置（如右图所示），因此所有基本事件的区域应是∠ACB，

所以

在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率。这个答案是0.75。第二个解法说射线AM在角ACB内是等可能分布的，为什么第一种解法点M在线段AB上不是等可能的？

典型错误分析：从几何概型的定义来分析，任找一点，满足条件的点的测度与点的测度之比。能不能从几何概型的定义来分析，对于一个随机事件，我们要将每个基本事件理解为从某个特定几何区域内随机取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

1） 点M在线段AB上是等可能的，错误解法就是根据这个才有，AM < AC ，AB=■AC， 所以AM < AC的概率是■=■。

2） 按照角度均匀分布，AMC为等腰三角形以内为满足AM

之所以两个概率不同，是因为相同的角度对应在斜边AB上的线段长度不同，假设角度均匀分布的时候，M落在任何相同角度跨度内的几率是一样的，但是由于他们对应的斜边长度不同，按照长度均匀分布来M落在这些小区间的概率是不相同的，从而导致最终结果的区别。事实上，同样角度对应高线附近的线段长度要短。

在高中数学中，对于概率的要求就是要帮助学生体会随机现象以及随机性，学生在已经掌握了一般性的随机事件及概率的统计定义的基础上，又学习了古典概型，在由古典概型向几何概型的过渡和实际背景如何转化为“测度”时学生会遇到一定的困难。这就导致了大多数学生都会采用典型错误解法，这是对几何概型的定义把握不准，理解模糊，将长度型、面积型、体积型、角度型混淆起来。几何概型的关键是如何在实际背景中，找出几何区域和如何去定该区域的“测度”。在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能。如第三例以角度为“测度”。因为射线CM落在∠ACB内的任意位置都是等可能的，若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的。所以我们在确立几何概型的基本事件时，一定要选择好观察测度，注意判断基本事件的等可能性，要根据题意，该设一个变量还是两个变量，即对几何概型问题作出一维的还是二维甚至三维的判断，是比较困难的。为了使学生知其然且知其所以然，我在上述例题中运用变式，即通过对表面相似而实质不同的解法进行深入的研究，使学生真正理解何时设一个变量，何时设两个变量或者三个变量。

今后，在课堂教学中我们应有针对性地能够对数学问题进行多层次、多角度、多方面的进行探索研究，有意识地引导学生从多种表象中去自主归纳问题的本质，再从问题的本质中探索内在的规律，从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质，这将有助于帮助学生关注数学内容的不同方面，有助于学生对新的知识产生深切的体会，有助于养成学生以不同的全新的视角去看待问题，这必将有助于学生对数学本质的探索和理解。

参考文献

1.魏立国；几何概型应用举例[J]；数学通讯；2005年17期

2.胡典顺；例谈几何概型[J] ；中学数学；2007年07期

3.陈钰清；对一道几何概型题解法的反思[J] ；中学数学杂志； 2010年01期