注重挖掘题目中的隐含条件

蔡敏

所谓隐含条件就是在题目中没有明确表达出来而客观上已存在的条件，往往给学生造成条件不够的假象.在平时练习或考试中，我们发现有些题目，学生由于忽视了题中的隐含条件，以致一些本来很简单的题目做不出来，或是使得求出的结果范围扩大，不符合题目的要求.而如果将题目的隐含条件挖掘出来，则可使问题迎刃而解，得到正确的结果.下面就题中隐含条件的几类题型加以简要说明.

一、利用概念、定义、定理、公式、性质等挖掘隐含条件

例1.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f（x）= 的图像交于P，Q两点，求线段PQ长的最小值.

解析：乍一看，似乎无从着手.但仔细分析，过原点的直线与函数f（x）= 都是关于原点对称的，则隐含着：P、Q两点关于原点对称.不妨设P（m，n）为第一象限中的点，则点Q（-m，-n），且n= ，所以|PQ|= =2 ≥4，|PQ|的最小值为4.（隐含条件：P、Q两点关于原点对称.）

例2.定义在R上的函数y=f（x+2）的图像关于（-2，0）对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）>0（其f（x）中是f′（x）的导函数），若a=（3 ）f（3 ），b=（log 3）f（log 3），c=（log ）f（log ），则a，b，c的大小关系是？摇 ？摇.

本题已知条件中可挖掘出四处隐含条件.隐含条件1：“定义在R上的函数的图像y=f（x+2）关于（-2，0）对称”这句话隐含着函数y=f（x）关于原点对称，即函数y=f（x）是奇函数.从题目中结构特征挖掘隐含条件2：a，b，c的表达式结构相同，可看成是函数y=xf（x）的三个值，由此比较a，b，c的大小可利用函数y=xf（x）的单调性.隐含条件3：f（x）+xf′（x）>0？圯[xf（x）]′>0，所以当x∈（-∞，0）时，函数y=xf（x）是增函数，当x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）是减函数.隐含条件4：0

二、从图形特征中挖掘已知图形中存在的但未指明的隐含条件

例3.如图是函数f（x）=x +ax+b的部分图像，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）

A.（ ， ） B.（1，2） C.（ ，1） D.（2，3）

解析：学生很容易从图像中得到f（1）=0，即1+a+b=0①，还可得出f（0）=b>0②，由①②得1+a<0，所以g（ ）=-ln2+1+a<0，但接下去就不知怎么办了.其实，该二次函数的图像中蕴含一个条件.图像与x轴的另一个交点在（0，1）内，则可推出对称轴x=- ∈（0，1），可推出a∈（-2，0）.所以，g（1）=2+a>0.因此有g（ ）g（1）<0，答案为C.（隐含条件：对称轴x=- （0，1）.）

三、从题目本身的文字表述中挖掘所蕴藏的隐含条件

例4.已知数列{a }的前项和为S 且a =1，a = S ，n∈N ，求数列{a }的通项公式.

很多学生这样解答：由a -a = （S -S ）= a ，得a = a ，所以a =（ ） .这个答案是错误的，原因在于：忽视了公式a =S -S 的前提条件为n≥2.因为当n=1时n-1=0，数列中没有第0项.正确的解答为：a = S = ，由a -a = （S -S ）= a ，得a = a ，所以a = ·（ ） .（隐含条件：n≥2.）

例5.已知f（x）=2x -10x，是否存在t∈N ，使得方程f（x）+ =0在区间（t，t+1）内有两个不等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

解析：方程f（x）+ =0等价于方程2x -10x +37=0.设h（x）=2x -10x +37，利用导数可得出函数的单调区间：函数h（x）在（0， ）内单调递减；函数h（x）在（ ，+∞）内单调递增.函数的极小值h（ ）=- .由题中“t∈N ”及“（t，t+1）”这两个式子暗示我们：t的取值在 前，t+1在 后，即t=3，计算h（3）=1>0，h（4）=5>0.所以，h（3）·h（ ）<0，h（4）·h（ ）<0.所以，方程h（x）=0在区间（3， ），（ ，4）内分别有唯一实数根，在区间（0，3），（4，+∞）内没有实数根.存在唯一的自然数t=3，使得方程f（x）+ =0在区间（t，t+1）内有且只有两个不等的实数根.（隐含条件：“N ”及“（t，t+1）.）

例6.已知函数f（x）=-|x|+1，若关于x的方程f （x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）

A.m≥ B.m> C.m>- D.m<-

解析：方程可看成以f（x）为自变量的一元二次方程，那原方程有四个不同的实数解等价于一元二次方程有两个不相等的实数根，但学生容易忽视一点：两根都小于1.其实，函数的解析式已经暗示了函数的值域为（-∞，1].（隐含条件：两根都小于1.）

解：令t=f（x）（t≤1），则原方程化为t +（2m-1）t+4-2m=0，原方程有四个不同的实数解？圳t +（2m-1）t+4-2m=0在（-∞，1）内有两个不相等的实数根.设两根为t ，t ，则Δ>0t +t <2，∴（2m-1） -4（4-2m）>0-（2m-1）<2，解得m> 或m< m>- ，∴m> .

通过对上述几类内含隐含条件题目的分析，我们可以认识到，在解题时应当认真审题，从多方向、多角度、多层次挖掘每个转瞬即逝的隐含条件，方能顺利地达到解题的彼岸，从而真正提高分析问题和解决问题的能力.