初中数学概念教学的逻辑解析

王国兰

数学概念是进行运算、判断、推理、证明的基础，形成准确、清晰的概念是正确思维的前提。学生对数学概念的掌握程度直接影响其学习效果。因此，数学概念教学是数学教学的重要组成部分。

数学概念分为原始概念和定义概念。原始概念往往是直接从客观事物的空间形式和数量关系抽象而来的，比较直观具体。在教学中，教师若能很好地利用直观教具，使学生通过观察而明确概念所反映的对象、特性，以及概念所适用的范围，则能收到较好的效果。定义概念，虽然是对客观事物的空间形式和数量关系的反映，但其产生和发展经历了抽象和概括的过程，具有其本身的复杂性和抽象性。因此，在进行定义概念教学时，教师有针对性地引导和帮助学生逐个角度、逐个层面地认识概念反映的对象，是很有必要的。

1.明确概念的研究对象

对概念要做到能够正确理解，明确概念的研究对象是第一要义。教师在进行概念教学，特别是在初步建立新概念时，必须首先明确指出概念的研究对象是什么，同时可采用类比、反例等手段对概念的研究对象进行个性凸显。例如，对“平行线”之一概念的教学，教师在引导学生通过观察得出平行线是“同一平面内的两条不相交的直线”时，要强调平行线概念的研究对象是同一平面内的两条直线，它不是射线、线段，更不是曲线。学生对于研究对象的明确，意味着对新概念已初步地接受，有了初步的认知。

2.明确概念成立的条件

要正确理解概念，明确概念成立的条件同样是很重要的环节。有些概念的表述很相似，但随着其限制条件的不同，概念的内涵可能完全不同。比如，“在同一平面内的两条不相交的直线是平行线”，这一关于平行线的概念，如果忽视了其前提条件“在同一平面内”，“平行线”之一概念就不一定成立。因为在空间中确实存在着不相交但也确实不平行的直线——异面直线；再如“圆”之一概念的表述为“在同一平面内，到一定点的距离等于定长的点的集合”，如果没有“在同一平面内”这一前提作保障，“圆”的概念同样不能成立，因为在空间中到定点的距离等于定长的点的集合可能是球面。像这样的条件性较强的概念在中学数学中是很多的，教师要用类比的方法，使学生对概念成立的条件有明确的认识和全面的理解。

3.揭示概念的内涵

概念的内涵是概念的反映对象在一定条件下所具备的本质属性，是此概念区别于其他概念的根本标志。一个定义概念，其研究对象及相应条件的确定，即意味着概念内涵的确定。因此，概念教学的主要任务之一即是要凸显概念的内涵本质和本质特征，同时要帮助学生排除误解因素对本质理解的干扰。

由于在教学中，给概念下定义常用“种概念加类差”的方式，因此概念教学时要重点讲解定义中种概念和类差，使学生认识到被定义概念既拥有它的种概念的一切属性，又有自己所独有的特性即类差。例如，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一定义中，“四边形”就是平行四边形所具有的最邻近的种概念，类差是“两组对边平行”。应强调指出平行四边形首先是四边形，具有四边形的一切属性，如内角和为360°，具有不稳定性等，同时还应强调平行四边形是特殊的四边形，特殊在“有两组对边分别平行”。

有些概念的种概念和类差不够明确，教学时通常还要从侧面对这些概念的内涵进行阐述。比如“互为余角”概念的教学，必须强调两点：其一，必须是两个角，单独一个90°角或和为90°的三个角及三个以上角，都不能说互为余角；其二，两个角之和必须为90°。这两点即是“互为余角”这一概念的本质所在。另外，教学实践表明，很有必要向学生说明两个角是否互余与角所处的位置无关，比如南极有一个角为30°，北极有一个角为60°，但这两个角仍然互为余角。

4.在应用中加深对概念的理解

无疑，学习概念是为了应用。学生对初学概念即使能弄清其基本含义，也未必能运用概念进行运算、证明。同时，应用是对概念的加深理解最有效的方式和途径，具体应用过程可使概念的对象属格化、抽象的条件具体化、深刻的定义浅显化。所以，必须配以典型的例题，引导学生掌握概念的适用范围和方法，从而加深学生对概念的理解。仍以“互为余角”概念为例，配以如下例题，要求学生自己先行解答。

例：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，则图中互余的角共有（ ？摇？摇）对。

A.6 B.7 C.8 D.9

结果多数学生选C。我们对此题作如下分析：在解决直角三角形中的互余问题时，要考虑三种情况：①直角三角形中的直角被分成两部分的两个角互余：∠1与∠2，∠3与∠4；②同一直角三角形中的两个锐角互余：∠2与∠B，∠1与∠3，∠4与∠A，∠A与∠B，∠1与∠A；③等量代换得到的互余角：∠2=∠3，故∠3+∠B=90°，∠2+∠4=90°，即∠3与∠B、∠2与∠4也是互余角，所以共有9对互余角，正确答案为D。该题中学生出错的主要原因是不自觉中对“互为余角”强调了位置关系。通过以上分析，学生可以更全面、深刻地理解“互为余角”这一概念。

5.梳理概念之间的关系，形成概念体系

在中学数学教学过程中，数学概念是分散的、渐进的，有些概念的理解不是一次能完成的。因此，教师应该有计划地进行单元总结或阶段归纳。比如绝对值、算数平方根、完全平方数，这是中学数学不同阶段的三个表述完全不同的概念，但它们之间有一个共同点，都是非负数，即|a|≥0，≥0，a2≥0.在这个意义上可把它们划归为一类，可以利用这一类的非负性解决很多相关的数学问题。

对所学概念进行经常性的比较和梳理，可使概念知识条理化、系统化，渐次构成一个完整的概念体系，只有这样，才能使学生对所学概念理解得更深刻，也才能使学生对所学概念运用得得心应手。