一元二次方程中考考点解析

周振亚

一元二次方程是中考数学的重要考点之一，同时也是学好二次函数的基础，尤其是一元二次方程结合函数更是中考热点. 特将近几年来各地在中考中出现的一元二次方程考题进行归类解析，供大家参考.

一、一元二次方程的概念

例1 （2011年兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）.

A. x2 += 0 B. ax2 + bx + c = 0

C. （x - 1）（x + 2） = 1 D. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0

分析 本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程须满足两个条件：（1）只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2；（2）方程必须是整式方程. 答案：C.

例2 （2012年柳州）一元二次方程3x2 + 2x - 5 = 0的一次项系数是 .

分析 考查一元二次方程的一般形式是：ax2 + bx + c = 0（a，b，c是常数且a ≠ 0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 根据定义即可求解.答案：2.

二、一元二次方程的解法

例3 （2012年梅州）（1）已知一元二次方程x2 + px + q = 0（p2 - 4q ≥ 0）的两根为x1，x2；求证：x1 + x2 = -p，x1·x2 = q.

分析 本题考查了一元二次方程的公式法解法，先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可.

例4 （2012年常州）已知关于x的方程2x2 - mx - 6 = 0的一个根为2，则m = ，另一个根为 .

分析 本题考查了一元二次方程解的含义，将2代入求出m后，解一元二次方程. 当然本题也能应用一元二次方程的根与系数的关系求解.

三、一元二次方程根与系数的关系

例5 （2012年鄂州）设x1，x2是一元二次方程x2 + 5x - 3 = 0的两个实根，且2x1（x22 + 6x2 - 3） + a = 4，则a = .

分析 运用整体代入法及根与系数的关系求解.

解 ∵ x1，x2是一元二次方程x2 + 5x - 3 = 0的两个实根，∴ x1 + x2 = -5，x1x2 = -3，x22 + 5x2 = 3，又∵ 2x1（x22 + 6x2 - 3） + a = 2x1（x22 + 5x2 + x2 - 3） + a = 2x1（3 + x2 - 3） + a = 2x1x2 + a = 4，∴ -6 + a = 4，解得：a = 10.

四、一元二次方程根的判别式

例6 （ 2012年河池）一元二次方程x2 + 2x + 2 = 0的根的情况是（ ）.

A . 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 无实数根

分析 由b2 - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0得出方程没有实数根.

例7 （2011年南充）关于的一元二次方程x2 + 2x + k + 1 = 0的实数解是x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1 + x2 - x1x2 < -1且k为整数，求k的值.

分析 本题先应用根的判别式求出k的取值范围，再应用根与系数关系求出k值.

解 （1）∵方程有实数根，∴ Δ = 22 - 4（k + 1） ≥ 0，

解得k ≤ 0，

k的取值范围是k ≤ 0.

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1 + x2 = -2， x1x2 = k + 1，

x1 + x2 - x1x2 = -2 - （k + 1），

由已知，得 -2 - （k + 1）< -1，解得 k > -2，

又由（1）k ≤ 0，

∴ -2 < k ≤ 0.

∵ k为整数，∴ k的值为-1和0.

五、一元二次方程与函数、实际问题等的综合运用

例8 （2011年淄博）已知关于x的方程x2 - 2（k - 3）x + k2 - 4k - 1 = 0.若以方程x2 - 2（k - 3）x + k2 - 4k - 1 = 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 的图像上，求满足条件的m的最小值.

解 设方程x2 - 2（k - 3）x + k2 - 4k - 1 = 0的两个根为x1，x2，根据题意得m = x1x2.又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2 = k2 - 4k - 1，那么m = k2 - 4k - 1 = （k - 2）2 - 5，所以，當k = 2时m取得最小值-5.