高职高数一元函数极限的求法综述

黄阿娜

摘要：极限是微积分的理论基础。研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限，如连续，导数，定积分，级数等等。由此可见极限的重要性。由于极限的计算方法很多而繁杂，所以本文根据自己的教学实践，力求对高职高等数学课程里计算一元函数极限的方法进行一个基本的总结。

关键词：连续性四则运算重要极限无穷小量无穷大量

型型

极限是高等数学中的一个重要的基本概念，是研究微积分学的重要工具。微积分中的许多重要概念都是用极限来表述的，一些重要的性质和法则也是通过极限方法推得的。因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的基础，也是学好工科类学科知识前提条件。这样才能更好地工学结合，使得学生在今后的工作中受益。

求函数极限时，要根据函数的特性选择求函数极限的适当方法。

1 求一元函数极限的基本方法

1.1 利用连续性求极限

①设f（x）在x=a连续，按定义则有：fx=fa。

因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值。

②一切初等函数在它的定义域上连续。因此，若fx是初等函数，a属于它的定义域，则fx=fa。

③设gx=A，若补充定义g（a）=A，则gx在 x=a连续。若又有y=f（u）在u=A连续，则由复合函数的连续性得f（g（x））=f（gx）=f（A）。

1.2 利用四则运算法则

设fx=A，gx=B，则

[fx±gx]=A±B，[fx·gx]=A·B，

=（B≠0），fx=AB（A>0）

1.3 利用重要极限

常用的两个重要极限公式是：

=1

1+=e

1.4 利用无穷小、无穷大的性质

①无穷小与有界函数之积仍为无穷小。

②无穷小与无穷大的倒数关系。

2 求一元函数未定型极限的方法

2.1 型极限的求法

①因式分解或通分。

②分子，分母同除以一个代数式。

③根式有理化。

④变量替换。

⑤等价无穷小代换。

求函数极限，如能恰当采用等价无穷小代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用。等价无穷小代换：设α～α′，β～β′，且lim存在，则lim=lim（其中α，β，α′，β′均为无穷小）。

应用等价无穷小应注意的地方：只能用分子，分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式施行无穷小代换。在和，差式中，就不能代换。因为无穷小的和或是差是比原先更高阶的无穷小。

⑥利用罗必达法则

定理（型，x→a+0）

若 （1）函数f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定义 （δ>0），并且

fx=0，gx=0

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）上存在，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

则==A

2.2 型的解法

定理 （，x→a+0）

若（1） 函数函数f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定义 （δ>0），并且

fx=∞，gx=∞

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）都可导，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

则==A

极限是数学分析中最基本，重要的概念之一；极限在实际应用中有很广泛的应用，因此掌握求极限的方法十分重要。

总之，求极限的方法很多，函数的类型也很多，但求极限总的指导思想是根据函数特征选择适当求法，在熟练掌握各种极限求法的基础上，按照极限求法的思考顺序来考虑，就可准确地找到适当的求法，使问题得到圆满的解决。

参考文献：

[1]侯风波.高等数学（第一版）.上海大学出版社，2009.

[2]陈传璋，欧阳光中等.数学分析 （第二版）复旦大学数学系.北京高等出版社，1983.

[3]宋蔡健，胡进.用积分法求解某一类特殊的和式极限[J].南京工业职业技术学院学报，2003，3（3）：85-87.