开放题在数学教学中的运用与反思

胡旅航

【摘要】 随着新课程的进一步深入，素质教育的全面推广，学生思维能力和创新精神的培养越来越受到重视. 数学开放题作为提高思维能力和培养创新精神的有效载体，引入课堂已成为必然. 数学开放题不仅有利于培养学生灵活多变、触类旁通的思维品质，还是优化课堂教学的有效途径之一.

【关键词】 数学开放题；运用；反思

数学的本质是一种思维活动，发展思维能力是培养学生数学能力的核心. 实践表明，在进行基础知识教学的同时，如果不引导学生去“发现”，不注意培养学生的思维品质，而只要求学生“记公式定理、套题型解法”，则有可能导致学生思维发展的停滞，聪明才智被扼杀. 在长期的教学实践中，开放题显现出其越来越丰富的教育功能. 因此，数学开放题被认为是最富有教育价值的题型之一.

数学开放型问题是相对于传统的条件完备和结论确定的封闭型问题而言的，目前，对于什么是开放题，还没有完全一致的概念. 但就开放题的类型而言，笔者认为：主要分为条件开放、解题过程开放、结论开放和条件、结论都开放等题型. 建构主义认为：“知识不是被动接受，而是认知主体积极建构的. ”虽然学生要学的知识都是前人已经建立好的，但对他们来说，仍是全新的、未知的，需要再现类似的创造过程来形成，用学生自己的活动对人类已有的知识建构起自己正确的理解. 所以，用建构主义理论指导开放题教学，无疑是理论与实践的完美结合. 在建构主义理论指导下，开放题教学能更好地发挥其教育价值，而以开放题为载体，可使建构主义理论的指导作用更落到实处.

一、数学开放题在教学活动中的运用

实施开放题教学，能在新课的导入、课堂结构设计、习题或作业的延伸处理等方面采取不同的形式. 设置开放题，开展开放题的学习活动能使学生积极参与到教学活动中，从而真正体现学生的主体地位和教师的主导作用.

1. 利用开放题导入新课：构建开放的问题情境，激发学生学习的兴趣

建构主义认为，在实际情境下学习，可以激活学生头脑中与当前学习相关的知识，同时也可以导致认知上的冲突，启动学生的思维，从而更好地同化或顺应学习新知识.

为此，在“三角形全等的条件”之“角角边”定理的新课引入时，笔者设置了这样的问题情境：

如图1，有下列四个论断：

① AB = AC；② AD = AE；③ ∠B = ∠C；④ BE = CD.

请你以其中一些论断为条件， 说明△ABE ≌ △ACD.

问题一出来，学生的思维就活跃了：

生1：“我认为将论断①②④组合，根据‘边边边可以判定△ABE ≌ △ACD. ”

生2：“我认为将论断①③④组合，根据‘边角边也可以判定△ABE ≌ △ACD. ”听了他俩的叙述，大家都点点头. 学生们脸上浮现出解完题的轻松，笔者接着问：“还有其他的方法吗？”

这时，教室里安静下来，大家陷入了思考. 过了一小会，生3站起来，他很兴奋：“我认为只要①②两个论断就可以得到△ABE ≌ △ACD. ” “為什么呢？”

生3：“图形中△ABE和△ACD有公共角∠A，加上①②两个论断，根据‘边角边就能得到△ABE ≌ △ACD. ”听了他的叙述，同学们投去了赞赏的目光.

“根据生3的思路，我认为①③两个论断也可以推导出结果. ”生4迫不及待地说. “他的想法行吗？大家能替他给出解释吗？”“能！根据是‘角边角公理. ”学生们很有自信.

“我们解题的时候，要充分利用图形中∠A是公共角的隐含条件. 那么，此题还有其他的组合方法吗？”学生们又陷入了沉思. 突然，生5站起来：“我觉得②③两个论断应该也行. ”她的声音很低，学生们都看着她. “为什么呢？根据是什么？”她很为难：“我也说不好，只是感觉可以. ”“那她的想法正确吗？大家能帮她解释吗？”教室里再一次安静下来. 过了许久，生6站了起来.

生6：“我认为她的想法正确，根据还是‘角边角，因为△ABE和△ACD有公共角∠A，而∠B = ∠C，三角形的内角和是180°，这样，第三个内角∠ADC = ∠AEB. 再加上AD = AE，∠B = ∠C的条件，就可以推出△ABE ≌ △ACD. ”说完这些，他很激动.

不知是哪名同学带的头，教室里响起了掌声. 显然，其他同学理解并接受了生6的解释. “你真了不起！”我给他竖起了大拇指，生6很开心地笑了.

在数学课堂教学中，呈现的情境应能促使学生产生继续学习的愿望. 学生在认知冲突、发现问题、思考问题的过程中，增强了克服困难的信心，激发了发挥潜能的心智. 大教育家苏霍姆林斯基说：“人的内心有种根深蒂固的需要——看到自己是发现者、研究者、探索者.”课堂上，我们要多给学生“发现”的机会. 因此，情境的创设不仅要考虑学生现有的数学知识结构，更为重要的是要着眼于学生更高层次的发展. 应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中生长出新的知识经验，寻找学生的“最近发展区”. 为学生提供丰富的学习材料，引导学生提出问题，激发学生的探究欲望，促使他们科学地思考和学习. 实践表明，合理的开放题教学导入能明显地促进课堂优化.

2. 利用开放题设计教学过程：让更多的学生参与到教学中来，体验知识的发现与发生过程，形成自己的知识网络

学生对教材的理解是零碎的，杂乱无章的，对解题规律的探究是肤浅的，所以课堂教学时，我们数学教师要注意帮助学生建立知识间的内在联系. 应通过对典型例题的分析，对它的解题方法进行拓展和深化，揭示数学知识的本质，从而培养学生的创新精神和发散思维能力. 让学生学会将零碎的知识串成线，织成网.

以浙教版八上教材P9页例2为例：

如图2，∠C + ∠A = ∠AEC.判断AB与CD是否平行，并说明理由. 笔者要求学生至少用两种方法解决.

显然，此题的解法不唯一. 由于每名同学的思维方法不同，将得出不同的作辅助线方法. 学生们经过讨论得到如下的解题方法：

方法一：如图3，延长CE交AB于F， 这里运用了三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和性质定理和内错角相等、两直线平行的判定定理.

方法二： 如图4，过E作CD的平行线，这样，将已知条件转化为两组相等的内错角，再根据平行于同一条直线的两直线互相平行可得结论.

方法三：如图5，连CA，△ACE的内角和为180°，而∠ECD + ∠EAB = ∠AEC，于是∠ACD + ∠CAB = 180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得结论.

通过这样的比较学习，让学生思考：什么时候用平行线的性质？什么时候用平行线的判定？这类题该怎样添加辅助线？哪一种解法最佳？这样比盲目做题的效果好得多. 通过比较，学生自己总结出这样的规律：知平行，用性质；不知平行用判定.

“学习的本质就是鉴别，又由于鉴别依赖于对差异的认识，因此，在教学中应尽可能地扩展变异的维数. ” 在开放题的教学中，我们不能满足于只是列出多种不同的解题方法或答案，而应更加注意对于所得出的不同方法和解答进行比较和鉴别，从中得出规律性、本质性的东西. 启发引导学生多角度地去思考问题，这样既能加强知识间的联系，又能培养学生的发散思维，有利于创新能力的提高. 只有这样，才能提高课堂教学效益，优化课堂教学.

3. 利用开放题让课堂小结“翘尾巴”：留下思维的悬念，扩大和延伸探究范围

课堂教学的最后几分钟，学生往往会出现思想放松，注意力不集中，如果教师组织得好，就能使学生仍能保持饱满的学习热情，使整堂课在归纳中得以升华，在悬念中继续探索. 在“二次函数的图像”新课快下课时，笔者并没有像往常一样让学生做课堂总结，而是引用了这样一道中考题：

更难能可贵的是，有个别同学还将本题和一元二次方程联系起来，得到b2 - 4ac > 0及方程ax2 + bx + c = 0两根的范围.

当学生被探究欲望和挑战激发时，才表现得最有创新精神. 我们知道，创新的过程就是学生思维能力升华的过程，因此，教师要多采用开放题那样有悬念、能激起求知欲的习题，使学生积极地扩大和延伸探究范围，把数学课的探究变成日常生活的一部分. 笔者坚信：只要我们教师能坚持这样做下去，学生的思维能力和创新精神就会有很大程度的提高，而且我们的课堂教学也会越来越优化.

二、数学开放题教学的几点反思

1. 开放题教学对教师提出了高要求

由于開放题的解答过程没有现成的解题模式，问题的答案有不确定性， 这就要求教师不仅要有充分的课前预设，还要具有灵活的应变能力以处理课堂上有可能出现的各种问题.

2. 设置的开放题要有层次性

要设置能联系实际、层次性强的开放题，这样才能使全体学生参与教学成为可能. 对于未彻底解决的问题、有待继续发展的问题，可留给学生在课后继续思考和探讨. 这样可以使学有余力的学生有思考的时间和空间，还能促进数学兴趣小组的发展，对培养数学爱好者有一定的积极作用.

3. 开放题教学要开放有度

一要把握开放题的“难度”：设计的问题要难度适中. 太简单，没有思维深度；太难，学生解决不了，丧失信心. 二是要控制课程的“进度”. 我们知道开放题的教学很费时间，往往“放”开去就很难“收”回来，导致教学进度不能正常继续. 如何在保证正常教学进度和实施开放题的教学中找到一个平衡点，一直困扰着笔者. 笔者提倡开放题并不意味排斥封闭题，传统的封闭题是开放题的基础，而开放题也仅仅是为了培养学生的创新精神，为提高思维能力提供一种新途径，开放题本身不是万能的. 在教学中要在常规题练习为主体训练的前提下，引进开放题，以弥补封闭性练习题的不足. 因此，在实施开放题教学时要开放有度，而不是放弃所有封闭题的完全开放.

新课标理念下的数学课堂教学，对教师学生均提出新的要求. 教师作为数学学习的组织者、引导者和合作者，应充分理解新课程的要求，把握新方法、掌握新技能，充分利用开放题培养学生良好的思维品质，优化课堂教学. 只有具有创新精神的老师才能有创新的课堂，才能培养出具有良好思维能力和创新精神的学生.

【参考文献】

[1]义务教育课程标准实验教科书七年级下册《数学》.杭州：浙江教育出版社 2006.

[2]义务教育课程标准实验教科书八年级上册《数学》.杭州：浙江教育出版社 2006.

[3]义务教育课程标准实验教科书九年级上册《数学》.杭州：浙江教育出版社 2006.

[4]黄邦杰，著.中学数学开放式教学模式初探[J].中国数学教育，2004（10）.

[5]戴再平.开放题—数学教学的新模式.上海：上海教育出版社，2002.

[6]学与教的心理学. 上海：华东师范大学出版社，1997.