利用梯形中位线解题

邓全齐

梯形的中位线具有的性质是：梯形的中位线平行于上下两底，并且等于两底之和的一半。灵活利用梯形中位线的这一性质可以解决有关数学问题，下面举例说明。

例1 （2012年四川省达州市中考题）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：

①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF。其中正确的个数是（ ）

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析 由梯形中位线性质，可知EF∥AD∥BC，则可得G、H分别是BD、AC中点，因此①、④、⑤正确，由同底等高可得S△ABC=S△DBC，则②正确，若③成立，则可推出梯形是等腰梯形，而梯形ABCD并不是等腰梯形。故答案选D。

点评 本题涉及梯形中位线的性质、三角形中位线判定及性质、同底等高三角形面积的变换等知识点，考查了同学们简单的推理能力及逻辑思维能力。

例2 （2012年贵州省六盘水市中考题）如图2，已知：AA′//DD′，B、C是AD的四等分点，B′、C′是A′D′的四等分点，AA′=28 cm，DD′=36 cm，求BB′和CC′的长度。

分析 根据已知条件，要求BB′和CC′的长度，需要找到BB′、CC′与已知条件的关系，注意到B、C是AD的四等分点，B′、C′是A′D′的四等分点，联想到梯形的中位线，可取AD的中点E和A′D′的中点E′，连接EE′，则EE′是梯形ADD′A′的中位线，且EE′的长度易求出。由于B′B和C′C分别是梯形AEE′A′和梯形EDD′E′的中位线，从而可以根据梯形中位线的性质求出BB′和CC′的长度。

解 取AD的中点E和A′D′的中点E′，连接EE′，则EE′是梯形ADD′A′的中位线，所以EE′= （AA′+DD′）= （28+36）=32 cm。

又BB′是梯形AEE′A′的中位线，CC′是梯形EDD′E′的中位线，

所以BB′= （AA′+EE′）= （28+32）=30 cm，

CC′= （EE′+DD′）= （32+36）=34 cm。

点评 解答本题要构造梯形中位线，熟练掌握梯形的中位线的性质是解题的关键。

例3 （2012年山东省滨州市中考题）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”。类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线。通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系？并证明你的结论。

分析 连接AF并延长交BC的延长线于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。

结论为：EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）。

证明 如图4，连接AF并延长交BC的延长线于点G。

因为AD∥BG，所以∠DAF=∠G，

在△ADF和△GCF中，∠DAF=∠G，∠DFA=∠CFGDF=CF。，

所以△ADF≌△GCF。所以AF=FG，AD=CG。

又因为AE=EB，所以EF∥BG，EF= （BC+CG），

即EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）。

点评 梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决。常用添加辅助线的方法有：（1）平移一腰；（2）过同一底上的两个顶点作高；（3）平移对角线；（4）延长两腰。

例4 （2012年江苏省南京市中考题）如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

（1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

分析 利用三角形中位线定理来证明四边形EFGH是正方形；借助梯形中位线得到EG的长，可求出四边形EFGH的面积。

解 （1）因为E、F分别是AB、BC的中点，

所以EF是三角形ABC的中位线，所以EF∥AC，EF= AC，

同理可得，EH∥BD，HG= AC，EH=FG= BD，

所以EH=FG=EF=HG，所以四边形EFGH为菱形。

因为EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，所以∠EHG=90°。

所以菱形EFGH为正方形。

（2）在梯形ABCD中，因为E、G分别是AB、CD的中点。

所以EG为梯形ABCD的中位线，所以EG= （AD+BC）=3，四边形EFGH的面积等于 EG2= ×9=4.5。

点评 本题题目中有中点，所以可转化利用三角形中位线、梯形中位线来解决问题，注意正方形是特殊的菱形，其面积也可以为对角线平方的一半。