关于烤盘最佳形状选择的研究

邱志昌 程龙 张宁

摘 要：该文是对2013年美国数学建模竞赛A题的更深一步的讨论，题目是如何在不烤焦蛋糕和最大利润条件下优化确定烤蛋糕的烤盘最佳类型，而文章仅仅考虑在烤盘给定确定面积和蛋糕不烤焦的前提下，来确定烤盘的最佳形状。蛋糕是否被烤焦取决于蛋糕中心达到相同温度时所用时间长短，首先运用推导的热稳态传导公式，通过matlab的PDE工具箱绘出矩形的温度分布图，解释了在蛋糕边角上容易烤焦。烤盘外壁温度分布类比恒温条件下的球壳传温给出，蛋糕内部遵循热传递，从高温传向低温。文章将蛋糕离散化并结合元胞自动机模型，仿真得到了不同形状的烤盘在中心达到相同温度时蛋糕的温度分布，并给出运行次数。仿真结果显示圆形形状烤盘运行次数仅为4374，次数最少，从而确定圆形烤盘是最佳选择。

关键词：热传递 球壳传温 元胞自动机

中图分类号：F203.9 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）02（c）-00-03

2013年美国数学建模竞赛A题是对烤箱中烤盘的最佳形状设计的探讨。最佳形状的设计要考虑两个方面，一方面烤盘要尽量保证蛋糕不被烤焦，另一方面尽量充分利用烤箱的空间。为了简化问题，文章忽略对烤箱空间利用率的考虑，仅仅考虑保证蛋糕不被烤焦的因素。

蛋糕在烤箱中加热过程及其复杂，蛋糕被烤熟的过程中涉及到热量的传导、温度的升高、水分的蒸发等一系列的变化，就热量的传导来说，就包括热传导、热对流和热辐射，假设烤箱内部的温度是均匀分布的，将传递的热量就需考虑热传递。因不可能将所有因素量化来分析蛋糕的烤焦，类似热流量的传导，我们予以简化，但主要影响因素是温度的分布不均。文章通过降维的思想，将蛋糕烤焦的原因归于蛋糕内外受热不均匀。烤盘中的蛋糕只有上表面直接与烤箱中空气接触，其他5个面都是与烤盘壁直接接触，通过烤盘壁与蛋糕之间的热传导加热。食物通常是在外表面被烤焦，文章只需选取平行于烤盘的横截面作为分析对象，考虑蛋糕内外温差的持续时间以确定在相等面积下的最佳烤盘形状。由于热量是从外向内传导，在蛋糕的外层存在局部温度较高的情况。那么可能出现蛋糕内层被烤熟后，蛋糕外层已经被烤焦的现象。考虑到在烤蛋糕的最后，边角总是焦的，为了之后更精确的仿真出蛋糕的传热，首先通过热稳态传导分析来解释边角烤焦的原因。基于此，文章认为一个较好形状的烤盘是指蛋糕内部达到一定的温度所用的时间较短，传递时间将通过元胞自动机仿真运行次数来反映。

1 热稳态模型

蛋糕在烤盘中烘烤过程中的热量传导主要有两个阶段：首先是烤盘壁将热量传递给蛋糕外层，其次是蛋糕内部的热传导。烤盘壁热传导系数较大，传热较快，烤盘壁相对较薄，文章可以认为烤盘内外壁的温度相同。

运用热稳态传导模型给出蛋糕横截面的温度分布图来说明拐角烤焦的原因。给出一般的热传导方程

其中表示温度，温度是x、y、z与t的函数，即，t表示时间。表示内部每单位容积热产生率。c是比热容，是常数，表示导热系数。因为我们考虑的是稳态热传导的情况下，所以温度对时间的偏导为零，将②式代入①式得到的二维稳态热传递方程为

③式满足椭圆偏微分方程的形式，称为Possion方程。由于烤箱内温度恒定，故为定值。

在面包热传导加热中，对于给定的一个立方体的烤盘，烤盘的横截面的温度分布基本一致，从而只需求出某一横截面的稳态温度分布图，以达到降维、简化模型的目的。

通过matlab的PDE工具箱绘出矩形的温度分布图，得到温度分布图形如图1。

结果评价：从图中可以明显看到在拐角区域的温度最高，从外边缘顺着热量传递方向温度是递减的，与生活中反映的现象一致，说明了建立的模型可信度较高，一定程度上解释了矩形烤盘在拐角及少量边缘处容易烤焦的现象。但模型仅仅是从稳态热传导角度来考虑温度的分布，没有考虑在从开始烘烤到烤熟整个过程各个阶段温度的分布。

在前面的模型中仅仅从温度角度考虑了温度高就容易烧焦，这样的考虑是有缺陷的。因为如果在烤面包时，中心的温度虽然比边缘的温度低，但是当过了时间t后中心的蛋糕已经熟了，蛋糕在边缘区域还没有烧焦，这样虽然蛋糕的形状不规则，但是仍然是一种较好的选择。选出的形状可以作为最后一问中优化问题中的一个不错选择。同时上述模型是在烤盘边缘温度恒定条件下建立的，只能解决像矩形这样边界恒温的平壁传导。这是因为对于矩形烤盘而言，空气中的热量是以平壁传导的方式传递给烤盘壁，由于直线的曲率为零，对于矩形的每一条边各个点的温度是一样的。

为此应用元宝自动机来改进上面的模型，在下面的模型中，着重考虑不同形状的烤炉壁，即曲率对传热的影响，这样就能更加精准的计算从烤炉壁各处每时刻传递给蛋糕的热量，这样考虑也更贴近生活。

2 元胞自动机仿真热稳态模型

2.1 元胞自动机原理

元胞自动机是一种将空间与时间离散化的模型，能将一个连续的过程通过许多离散的网格表示出来。离散网格中每一元胞取有限的离散状态，遵循相同的作用规则，在局部不断更新。元胞自动机通常运用于信息传递、通信、生长与进化等领域，为复杂的现象提供有效的动态模型。

热量的传导是一个从高温区域向低温区域传递的连续过程。文章将热传导平面细化成细小的网格，热量从横截面四个面向内传导，网格内温度通过热量的叠加的结果反映大小。

2.2 烤盘曲面温度分布计算

为确定元胞自动机模型的边界初始温度，文章将烤盘类比为高光曲面模具在恒温环境中的球壳传温，并引用温度与曲率的方程。伍晓宇等（2012）通过实验并拟合出温度与曲率的方程。如下

所示：

该方程适用于平壁高光面。其中为某t时刻型面的温度；为高光面壳的初始温度；为对流介质温度；和为方程系数；L为高光面壳厚度。

当烤盘出现光滑的曲线时，空气对烤盘的热传递可以看成是球壳传热。给定一个外界恒温条件和时刻t，烤盘表面的各个点的温度会随着曲率的变化而变化，找出的公式如下

为时刻t 型面上曲率半径为r的点的温度；a b c d分别是方程系数。

为了给出同时具有平壁与曲线烤盘表面的温度函数，可以将 ①与 ②两个式子结合起来，给出一个式子如下

定义k为曲率影响系数，若k=0，则 ⑥转化为 ④式。该文选取 烤盘初始温度=25 ℃，烤箱温度=200，=1.1925，烤盘壁厚度L=1 cm。

2.3 热传导规则

将蛋糕内部横截面热分布的二维空间网格化。热量的传导可以看成是在不同的网格之间的传导。

① 每一小格的热量只能从上下左右传递，不能斜向传递。

② 热量总是从高温区域向低温区域传递。

③ 任一小格传递给周围小格热量后，温度不能低于接受热量小格的温度。

对于规则的图形表示，见图a。其中 箭头表示热传导>；表示红色区域的温度，表示黄色区域的温度。

蛋糕外表面自接受来自四面烤盘外部的热量后，从外向内扩散，距离边界越远，传递到的热量越少。热量总是从高温区域楚传向低温区域。扩散的路径如下图所示。

2.4 仿真结果

文章选取生活中最常用的几种常见的烤盘类型：圆形、矩形，通过元胞自动机模型对其进行仿真，仿真时间步长选取0.05。

3 结果分析

从上述五个图看出圆形、椭圆、跑道形、圆角矩形和矩形烤盘在内部温度达到相同温度（60 ℃左右）时运行的次数依次是4374、8217、9234、10259、10627，选取次数最少的圆形作为最佳形状，其传热最均匀。

另外通过仿真可以粗略的看出拐角处温度较高，矩形表现得特别明显，说明在该处蛋糕容易烤焦，那么在满足需要对烤盘进行特殊设计时，应尽量避免出现类似矩形的拐角。

参考文献

[1] 伍晓宇，王金金，张会迎，等.三月注塑模具近随形高光面壳计算[J].深圳大学学报理工版，2012，29（2）：171-177.

[2] 朱代根.食品对流烹饪过程热质传递分析[J].科技信息，2012（16）.

[3] 王志国，赵阳，陈健，等.边界热质传递过程的主动传递过程分析及应用[J].大庆石油学院学报，2012，36（1）：101-103.

[4] 薛雷，魏瑞演，乔虹.恒温边界矩形区域内热传导的可视化计算[J].福建工程学院学报，2008，6（3）：219-223.