初中几何分类讨论解题的诱发因素

韦玉

分类讨论是初中数学常用的重要思想方法，解答的关键在于正确认识问题中的诱发因素，从而进行正确的分类解答.引起分类讨论的原因多种多样，本文以一些几何探究型题目为例，探讨引发分类讨论的若干因素.

一、所涉及的点的位置不确定

【例2】 如图2，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.

（1）求证：EB=EC=ED；

（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF·DC.若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由.

解析：（1）连结BD、OE，易证EB=EC=ED.

（2）在△DEC中，由于ED=EC，因此∠C=∠CDE.

由三角形内角和定理，有∠DEC=180°-2∠C.

据题意可知∠DEC的大小不确定，点F所在的位置也就无法确定，故需对∠DEC加以分类讨论，才能解决这一问题.

①当∠DEC>∠C时，有180°-2∠C>∠C，即当0°<∠C<60°时，在线段DC上存在点F满足条件.在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求.这是因为由∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，则有△DEF∽△DCE，DE2=DF·DC，即（12BC ）2=DF·DC，因此BC2=4DF·DC.

②当∠DEC=∠C时，即∠DEC=∠C=60°，此时C点即为满足条件的F点，于是DF=DC=DE，仍有BC2=4DF·DC.

③当∠DEC<∠C时，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.

三、所涉及的等腰三角形的底边不确定

【例3】 已知二次函数y=12x2-x+m的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于B、C两点（点B在点C的左边），P为它的顶点.

（1）试确定m的值；

（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求直线AD的解析式；

（3）在y轴的正半轴上是否存在点M，使△PCM为等腰三角形.若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

所以，当t=1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.

通过分类讨论，便于对各种错综复杂的情况完整清晰地进行讨论和研究，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力，有助于学生思维能力的培养.由于分类讨论题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，体现了“考查数学能力的要求”，所以在中考中有重要的位置.因此教师必须有意识地给予引导，使学生能正确认识分类讨论的诱发因素，确定问题的分类标准，进而正确地进行分类讨论.

（责任编辑 金 铃）