追问：让学生的数学思维走向深远

王广阔

苏教版数学教材六年级下册第六单元“四则混合计算”的整理复习后面安排了“探索与实践”，如下图：

通过探索学生得出了如下结论：长方形的长和宽分别增加■，长方形的面积是原来的■。教学至此，已经完成了既定的教学任务。但是，总有一种意犹未尽的感觉，数学教学除了引领学生经历过程，给学生一些正确结论之外，还应该有更重要的事情可做。正如郑毓信教授所说：“在问题解决后还要继续前进。发展学生的思维可能是更贴切的做法。”于是，我专门安排了一节课，进行了三次追问，引领学生经历了如下的思维之旅：

追问一：对不对——从举例验证走向公式推导

通过两个例子的计算，学生得出了上述结论之后，我没有停留在发现结论的层面，而是引领学生主动地去对结论进行验证。我追问学生：“怎样能够说明我们发现的这个结论是正确的呢？”多数小学生往往更直观具体、更关注结果的正确与否，因此他们继续举出更多的例子来说明结论的可靠性。但是这样的简单重复，学生的思维水平依然停留在原先具象水平的层面，没有任何提高。此时，教师有意挑战学生的思维，故意“刁难”他们说：“不用举例的方法，你们能想出别的办法说明这个结论是正确的吗？”一部分学生经过思考后，开始借助面积公式去说明原因：因为长方形的面积=长×宽，长和宽都变成原来的■，所以面积变成原来的■。教师适时借助板书，引领全班同学理解第二种证明方法：因为，S1=ab；所以，S2=■a×■ b =■ ab= ■S1。从举例验证到借助公式推理，学生既积累了丰富的感性经验，又在师生、生生多边交流的过程中，将自己的思维从具象水平提升到抽象水平，使他们从关注结果的正确性转向了关注过程的合理性，学生对概念和公式的关注，对于思考过程的关注，是学生数学思维水平提高的显著标志。深入学生思维深处，有意识地引领他们向上发展，才是真正以学生发展为本的数学教学。

追问二：全不全——从平面迁移走向立体拓展

学生理解了“长方形的长和宽分别增加■，长方形的面积是原来的■”之后，我继续追问学生：“从长方形的这个结论，你们又想到了什么类似的结论？”学生的思维又体现出两个不同的层次：

1.举一反三

这里的举一反三指的是学生的思维停留在与原有结论同一思维平面上的量的累加。比如通过交流，学生得出如下一些结论：正方形的边长增加■，正方形的面积是原来的■；平行四边形的底和高分别增加■，平行四边形的面积是原来的■；三角形的底和高分别增加■，三角形的面积是原来的■；梯形的上底、下底和高分别增加■，梯形的面积是原来的■；圆形的半径增加■，圆形的面积是原来的■。学生借助举例和公式推导的方法，分成5组分别验证结论的正确性后，又在进一步的归纳比较中认识到：以上图形都是相关的两条边（两组边）的乘积。（正方形、圆和梯形有一些特殊性，但也可归结于此。）两条（两组）相关的边的长度分别变成原来的■，相乘之后面积变成原来的■。学生又一次在一个更高的层面经历了从例证到理证的过程，更概括、更抽象。

2.由此及彼

由此及彼指的是学生跳出原有的思维平面，实现更立体的拓展。我继续追问：“通过刚才的这些结论，还能得出哪些相关的结论？”学生的思维开始向不同的领域拓展延伸：

（1）立体图形：长方体的长、宽、高分别增加■，长方体的体积是原来的■；正方体的棱长增加■，正方体的体积是原来的■。

（2）改变分数：“长方形的长和宽分别增加■，面积变成原来的■。”

（3）由增加到减少：“长方形的长和宽减少■，面积变成原来的■。”

举一反三是平面迁移，由此及彼是立体拓展，学生的思维由线性思考的方式向结构拓展的方式发展。这种发展，不仅仅在于学生借助一个结论的证明，引出了一系列的思考，是一个将薄书读厚的过程；更重要的是，学生的数学活动经验越来越丰富，感性积累越来越厚实，思维方向越来越灵活，思维的结构越来越具有系统化的方式，更容易形成合理的知识结构，整体提升学生的思维水平。

追问三：跳一跳——从经历过程走向策略提升

先把薄书读厚，再把厚书读薄，数学学习也是如此，通过对一个结论的深入追问得出了一组又一组的结论，记住每一个结论是不可能的，怎样才能更好地解决这一类问题？教师有必要引领学生跳出原来的解题过程，进行回顾反思，从中汲取有益的解决问题的策略，使学生对问题解决的认识从方法层面向策略层面提升。回顾上述过程，不同的学生有不同的经验。有的学生说：“举例子算一算是很好的方法，容易理解。”有的学生说：“借助公式思考原来的结果与现在的结果，解决问题的速度更快。”还有的学生根据计量单位的不同将所有的结论概括为三类：周长、棱长、和；面积、表面积；体积、容积。周长、棱长、和的变化与边长的变化相一致，面积、表面积的变化是长度变化的平方倍；体积、容积的变化是棱长变化的立方倍。由此可见，举例子的方法贴近儿童的思维水平，易于理解、易于发现规律，是解决问题的好方法。而借助公式推导的方法，得出的结论具有普遍性，更加可靠，让人知其然又知其所以然。能够对众多的结论进行条分缕析的概括，以组块的方式进行贮存，学生的思维就更加简洁、有效。因而，回头看、跳一跳的过程，既是积累数学活动经验、提取基本的数学思想的过程，又是夯实基本知识和基本技能的过程，在提高学生策略意识的同时，也自然有效地提升了学生的数学思维水平。

众所周知，数学知识的深入理解与学习离不开思维发展的有效支撑。当前的数学课堂往往重视知识的累积，却忽视思维的有效发展，以至于当数学知识的学习越来越难、越来越多时，学生就学得越来越吃力。究其原因，是思维的发展滞后于知识的积累所致。就像一些智者走得太快时会停下脚步，等一等自己的灵魂一样，数学教学也应该在积累数学知识的同时，放慢知识积累的脚步，关注学生数学思维的有效发展。

如何促进学生数学思维的有效发展？既不能越俎代庖，也不能拔苗助长。当下的数学课堂要么给予学生的时空太小，学生的思维没有成长的土壤；要么一味地追求高效，催熟学生思考。师问生答的问题交流方式使学生不能养成主动思考的习惯；即问即答的问题交流方式使学生不能学会思考的方法，止步于问题解决的教学。只有松开手里的缰绳，马儿才能撒开欢地奔跑。聪明的学生是在思考中变得聪明的，只有给学生提供思维发展的时间与空间，学生的思维才有生长的可能。教师给学生思考的时间与空间，而不是仅仅给予结论，这样学生才能越学越聪明，才能深层次地体验到数学学习的乐趣，才能领略数学的魅力。

追问，是教师引领学生思维发展的一种有效手段。追问要贴近学生的思维水平，既要尊重学生的原有水平，又要在感性经验不断累积的基础上，及时介入，由感性经验的“聚变”引发内涵理解“质的提升”；追问要切入问题的内涵，学生才能将思维集中在最有价值的问题上，围绕核心问题展开有效思考；追问要讲究提问的技巧，掌握问题的跨度，贴近学生的最近发展区，关注问题的层次性，引领学生以渐进方式走向问题本质，构建问题的体系，借助问题的体系构建学生认知的体系。在教师的有效追问中，学生的思维才能自然地走向深远。

数学是思维的乐园，教室理应成为思维的运动场，在追问中不断地引领学生前行，让学生在思维的过程中，学会思考的方法，提升思维的能力，渐渐地养成思维的习惯。用数学提升学生的思维，让他们变得更加严谨，让他们更加主动和深刻；用数学引领学生不断探究，让他们养成不懈追求的精神。这样的数学教学才能从技巧层面上升到文化层面，这样的数学教学才能充分发挥数学以“数”化人的文化功能，才能在更深层面落实“以人为本”的教学目标，才能在学生学习之路上留下更深的记忆。