难道题目条件真的不够？

在解题中有时我们会觉得似乎条件不足，从而使解题陷入困境，其实此时恰恰是同学们研究学习的开始.若在学习过程中能把握这一特殊的现象，适时地开展研究性学习，在问题中寻找方法感悟新知，定能摆脱困境提高思维能力.笔者从下面几个方面浅谈研究性学习的展开.

一、特殊性研究

有些问题的提出，按常规思路来解决似乎不太可能，而此时正是包含了问题的特殊性.若我们能从问题的特殊角度加以研究，消除一些思维定势，定能开辟出新的解题思路.

例1 已知数列{an}是等差数列，a7=5，求S13.

分析：（1）此题的一般解法是：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a7=5，所以有a1+6d=5，此时要先求出a1和d的值，再求S13，显然这里只有一个方程，要求两个未知量的值是不可能的，似乎条件不足.

（2）要求S13，是否可以不求出a1和d？可仔细分析一下，a1+6d与S13是否存在某种特殊的联系？此时：S13=13a1+13（13-1）2d=13a1+13×6d=13（a1+6d），因此有S13=65.

例2 若对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）的奇偶性是 .

分析：（1）判断函数的奇偶性的一般步骤：判断定义域是否关于原点对称→求f（-x）的解析式→比较f（-x）与f（x）的关系.对于本题，由于没有给出函数具体的解析式，故无从下手去求f（-x）的解析式，似乎条件不足.

（2）要判断函数的奇偶性，在定义域关于原点对称的前提条件下，关键是判断f（-x）与f（x）的关系，由题意对一切实数都满足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，则有

f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0.令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数.

（3）由对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），我们可以联想我们熟悉的函数模型中是否有符合的，不难发现f（x）=kx（k≠0）满足f（x+y）=f（x）+f（y），于是不难得出函数f（x）是R上的奇函数.

二、深刻性研究

有些问题觉得条件不足是因为我们忽略了一些隐含的条件，对问题没有进行深入的研究.若我们能对问题进行全面的分析和仔细的研究，挖掘出隐含的条件，一定能使问题得以解决.

例3 设3sin2α-cos2β=3，α，β∈[0，π2]，求α，β的值.

分析：已知一个条件等式，求两个未知量，通常情况下是不容易求出来的，因而在条件等式中肯定隐含着某个不易察觉的限制关系，因此对等式进行变形得cos2β=3sin2α-3，由有界性cos2β≥0，可知3sin2α-3≥0，故sin2α≥1，再由正弦函数的有界性sin2α≤1，得sin2α=1，∴cosβ=0，∵α，β∈[0，π2]，∴α=π4，β=π2.

例4 在复平面的单位圆上，有把圆三等分的三点，它们分别对应复数Z1，Z2，Z3，试求

（Z1+Z2）（Z2+Z3）（Z3+Z1）Z1Z2Z3的值.

分析：此题因为缺少有效的等量关系的条件，故很难解决.而对于Z1，Z2，Z3这三个复数，它们所具备的条件是：它们的模等于1，它们对应的三点构成正三角形，且三角形的中心在坐标原点，从而有：Z1+Z2+Z3=0，若抓住了这一条件，解题变得很自然了.

原式=（-Z1）（-Z2）（-Z3）Z1Z2Z3=-1

三、辅助性研究

有些问题我们可以根据题目的特点，附加一些条件，使它们起到中间变量的过渡作用，从而使问题得以解决.

例5 已知自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值.

分析：此题粗看一下，似乎很难，仔细观察一下发现，x1，x2，x3，x4，x5都是自然数，总有一个大小关系，所以可附加条件：x1≤x2≤x3≤x4≤x5，且不影响整个解题的过程.于是有：x1+x2+x3+x4+x5≤5x5，即x1x2x3x4x5≤5x5，那么x1x2x3x4≤5，因此有下列几种可能：

（1）x1=x2=x3=x4=1，则x5+4=x5，显然不成立；

（2）x1=x2=x3=1，x4=2，3，4，5，则相应地有5+x5=2x5，6+x5=3x5，

7+x5=4x5，8+x5=5x5，显然有x5=5，3，2

（3）x1=x2=1，x4=x3=2，则6+x5=4x5，x5=2

因此有x5的最大值为5.

四、讨论性研究

有些问题本身具有不确定性，不可能直接加以解决.这时需要我们对问题进行分类，在不同的条件下加以解决.

例6 数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=a（a≠0），an+1=rSn（n∈N*，r∈R，r≠-1）

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差数列，试判断对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差数列，并证明你的结论.

分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.仔细推敲不难发现数列{an}的通项公式与r有关，因此在解题的过程中要对实数r进行分类讨论，往往学生因考虑问题不够全面而导致漏解.

解：（Ⅰ）由已知an+1=rSn可得an+2=rSn+1，两式相减可得

an+2-an+1=r（Sn+1-Sn）=ran+1

即an+2=（r+1）an+1

又a2=ra1=ra，所以r=0时，

数列{an}为：a，0，…，0，…

当r≠0，r≠-1时，由已知a≠0，所以an≠0

于是由an+2=（r+1）an+1可得an+2an+1=r+1（n∈N*），

∴a2，a3，…，an，…成等比数列，

∴当n≥2时，an=r（r+1）n-2a

综上，数列{an}的通项公式为

an=a，n=1r（r+1）n-2a，n≥2

（Ⅱ）对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（Ⅰ）知，an=a，n=10，n≥2

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列，

当r≠0，r≠-1时，

∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2，Sk+1=Sk+ak+1.

若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差数列，

则Sk+1+Sk+2=2Sk，

ak+2+2ak+1=0

对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1=-2am，从而am+2=4am

∴am+1+am+2=2am，即am+1，am，am+2成等差数列，

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列.

从上述的几种情况我们可以看出，若在解题中感觉条件不足，使解题陷入困境，我们应该从问题的本身进行分析和思考，从特殊性、深刻性、辅助性三方面加以研究，然后再注意思维的开阔性，从讨论和开放这两方面进行研究.所以在解题中只要我们对发现的问题加以研究，一定能摆脱困境，走向成功.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）