高三数学模拟试卷（二）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1.集合M={x|lgx>0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=.

2.已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=-π，则sina7=.

3.若z1=a+2i，z2=3-4i，且z1z2为纯虚数，则实数a=.

4.程序如右图：该程序输出的结果是.

5.已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；

④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.

其中真命题的序号有.（请将真命题的序号都填上）

6.已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是.

7.若点P0（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）外，过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2+y0yb2=1.那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为.

8.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k=.

9.若椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为.

10.在△ABC中，已知内角A=π3，边BC=23，则△ABC的面积S的最大值为.

11.函数f（x）=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零点个数为.

12.当0≤x≤12时，|ax-2x3|≤12恒成立，则实数a的取值范围是.

13.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-2，则λ=.

14.已知实数x，y满足：x3+2xy-1=0（-1≤x≤2，x≠0），这个方程确定的函数为y=f（x），则z=3x+2f（x）的极大值是.

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15.（本小题满分14分）

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.

（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0x>0y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.

16.（本小题满分14分）

如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.

（1）求四棱锥PABCD的体积；

（2）求证：PA∥平面MBD；

（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

17.（本小题满分15分）

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上一点，

以AB为一边向△OAB的外侧作等边△ABC.

（1）问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？

（2）当OC平分∠AOB时.

（ⅰ）求证：∠OAC+∠OBC=π；

（ⅱ）求OC的长度.

18.（本小题满分15分）

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|xx2+1-a|+2a+23，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，12]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）.

（1）令t=xx2+1，x∈[0，24]，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

19.（本小题满分16分）

椭圆T：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A，过A的一条直线l1交椭圆于另一点B.

（1）若直线l1的方程为：x+3y-3=0，且AB=10，求椭圆T的方程；

（2）过A的另一条直线l2交椭圆于C，且AB=AC，求证：点B、C关于y轴对称；

（3）设直线m是线段AB的垂直平分线，试问：椭圆T上是否存在另外两点P，Q关于直线m对称？若存在，请给出直线AB的位置；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分16分）

已知数列an=2n-n2，n=1，2，3，…，

（1）求出数列{an}中所有成等差数列的连续三项；

（2）求证：数列{an}中不存在连续三项成等比数列；

附加题

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

B.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵A=1a-1b，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=21.设向量β=74，试计算A5β的值.

C.选修4-4：参数方程与极坐标

已知曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ（a>0）.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴

为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），若直线l与曲线C相切，求a的值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=（1，0），OT=（-1，t），

FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF.

（1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；

（2）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA，TF，TB的斜率依次成等差数列.

23.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ>0）=710.

（1）求文娱队的队员人数；

（2）写出ξ的概率分布列并计算E（ξ）.

参考答案

一、填空题

1. （1，2]2. -323. a=834. 1205. ②③6. -3

7. 若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外，过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2-y0yb2=1

8. 09. e=ca=25510. 3311. 212. -12≤a≤3213. 2314. -154

二、解答题

15.解：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2ba，

要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a3分

若a=1则b=-1，

若a=2则b=-1，1

若a=3则b=-1，1；5分

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为515=137分

（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a>0时，

函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为（a，b）a+b-8≤0a>0b>0

构成所求事件的区域为三角形部分.9分

由a+b-8=0b=a2得交点坐标为（163，83），11分

∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=1314分

16.解析：在正三角形PAD中，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD

因为正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，面ABCD∩面PAD=AD

∴PQ⊥面ABCD（3分）

VPABCD=13S·PQ=3233（5分）

（2）证明：连AC交BD于O，连MO

则ABCD为正方形，所以O为AC中点，M为PC中点，所以MO∥AP，（7分）

又AP平面MBD，MO平面MBD，则AP∥平面MBD.（10分）

（3）N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB.（11分）

证明如下：由（1）证明知PQ⊥平面ABCD，又CN平面ABCD，则PQ⊥CN（12分）

又因为正方形ABCD中Q，N分别为AD，AB中点，则CN⊥BQ（13分）

∴CN⊥平面PQB又∵CN平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB.（14分）

17.解：（1）设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理

得：AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.（2分）

四边形OACB的面积S=S△OAB+S△ABC=12OA·OBsinα+34AB2

=12×2×1×sinα+34（5-4cosα）=sinα-3cosα+534=2sin（α-π3）+534.∵0<α<π，∴-π3<α-π3<2π3，当α-π3=π2即α=5π6时，四边形OACB的面积取最大值.（7分）

（2）（ⅰ）在△OAC中，ACsinα2=OCsin∠OAC，在△OBC中，BCsinα2=OCsin∠OBC，

∵AC=BC，比较以上两式可知：sin∠OAC=sin∠OBC.

若∠OAC=∠OBC，又∠AOC=∠BOC，OC=OC△OAC△OBC，

∴OA=OB，这与已知矛盾.∴∠OAC≠∠OBC，从而∠OAC=180°-∠OBC.

即∠OAC+∠OBC=π.（11分）

（ⅱ）由（ⅰ）得∠AOB+∠ACB=π，∴∠AOB+π3=π，∠AOB=2π3.

又OC为∠AOB的平分线，∠AOC=π3，在△AOB中，AB2=OA2+OC2-2OA·OC·cos2π3=22+12-2×2×1×（-12）=7，

在△AOC中，AC2=OC2+OA2-2OC·OAcosπ3，

∴7=OC2+22-2·OC×2×12OC=3.（15分）

18.解：（1）当x=0时，t=0；

当0

∴t=xx2+1=1x+1x∈（0，12]，

即t的取值范围是[0，12].（6分）

（2）当a∈[0，12]时，记g（t）=|t-a|+2a+23

则g（t）=-t+3a+23，0≤t≤at+a+23，a

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，12]上单调递增，

且g（0）=3a+23，g（12）=a+76，g（0）-g（12）=2（a-14）.

故M（a）=g（12），0≤a≤14g（0），14

∴当且仅当a≤49时，M（a）≤2.

故当0≤a≤49时不超标，当49

19.（1）x29+y2=1（5分）

（2）略（10分）

（3）可由点差法得b=a，与已知矛盾.（16分）

20.解：（1）2an=an+1+an-12（2n-n2）=[2n+1-（n+1）2]+[2n-1-（n-1）2]，

2n+1-2n2=2n+1-（n2+2n+1）+2n-1-（n2-2n+1）

2n-1=2，∴n=2.

∴a1=1，a2=0，a3=-1.

即只有前三项是连续的成等差数列的三项.（7分）

（2）设a2n=an-1·an+1，

（2n-n2）2=[2n-1-（n-1）2][2n+1-（n+1）2]

22n-2n2·2n+n4=22n-（n-1）2·2n+1-（n+1）2·2n-1+（n2-1）2

2n-1（n2-6n+5）+2n2=1（）.

当n=1时，（）左=2，（）右=1，所以此时（）式不成立；

当n≥2时，（）左是偶数，而（）右是奇数1，所以此时（）也不成立.从而数列{an}中不存在连续三项成等比数列.（16分）

21.B.选修4-2：矩阵与变换

解析：由题设条件可得：1a-1b21=221，即2+a=4-2+b=2，解得a=2b=4，得矩阵A=12-14.（2分）

矩阵A的特征多项式为f（λ）=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6=0，解得λ1=2，λ2=3.（4分）

当λ1=2时，得α1=21；当λ2=3时，得α2=11，（6分）

由β=mα1+nα2，得2m+n=7m+n=4，得m=3，n=1，（8分）

∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3（λ51α1）+λ52α2

=3×2521+3511=435339.（10分）

C.选修4-4：参数方程与极坐标

解析：曲线C化为直角坐标方程为x2+y2-ax=0，即（x-a2）2+y2=（a2）2，（3分）

直线l的参数方程化为普通方程为x-y-1=0.（6分）

由题设条件，有：|a2-1|2=a2，∴|a2-1|=22a，（8分）

∴a2=1+22a（舍去）或a2=1-22a，∴a=2（2-1）.（10分）

22.解析：（1）设点P的坐标为（x，y），由FM=MT，得点M是线段FT的中点，则M（0，t2），PM=（-x，t2-y），FT=OT-OF=（-2，t），PT=（-1-x，t-y），（2分）

由PM⊥FT，得2x+t（t2-y）=0，……①（3分）

由PT∥OF，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，

∴t=y……②（4分）

由①②消去t，得y2=4x即为所求点P的轨迹C的方程.（5分）

（2）设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A（x1，y1），B（x2，y2），则有k=-t2.（6分）

设直线AB方程为x=my+1，由y2=4xx=my+1，得y2-4my-4=0，∴y1+y2=4my1·y2=-4，（8分）

∴y21+y22=（y1+y2）2-2y1y2=16m2+8，

∴k1+k2=y1-tx1+1+y2-tx2+1=（y1-t）（y224+1）+（y2-t）（y214+1）（y214+1）（y224+1）

=4y1y2（y1+y2）-4t（y21+y22）+16（y1+y2）-32ty21y22+4（y21+y22）+16=-t=2k，∴k1，k，k2成等差数列.（10分）

23.解析：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，只会一项的人数是（7-2x）人.（2分）

（1）∵P（ξ>0）=P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=710，∴P（ξ=0）=310，即C27-2xC27-x=310.

∴（7-2x）（6-2x）（7-x）（6-x）=310.解得x=2.（4分）

故文娱队共有5人.（5分）

（2）P（ξ=1）=C12·C13C25=35，P（ξ=2）=C22C25=110，（7分）

ξ的概率分布列为

ξ012

P31035110

∴E（ξ）=0×310+1×35+2×110=0.8.（10分）