高三数学模拟试卷（一）

本刊试题研究组

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合M={x|x≠0，x∈R}∪{y|y≠1，y∈R}，集合P={x|x<0或01，x∈R}，则集合M与P之间的关系是.

2.已知等差数列{an}中，a4=3，a6=9，则该数列的前9项的和S9=.

3.若命题“x∈R，x2+（a-1）x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是.

4.如图，给出一个算法的伪代码，

Readx

Ifx≤0Then

f（x）←4x

Else

f（x）←2x

EndIf

Printf（x）

则f（-3）+f（2）=.

5.已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=.

6.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为.

7.直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是.

8.在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为.

9.设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k-12，k+12），则整数k=.

10.已知下列两个命题：

p：x∈[0，+∞），不等式ax≥x-1恒成立；

q：1是关于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一个解.

若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是.

11.定义一个对应法则f：P（m，n）→P′（m，n），（m≥0，n≥0）.现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为.

12.设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在0≤x0≤32，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是.

13.在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：

先改写第k项：k（k+1）=13[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得

1×2=13（1×2×3-0×1×2），

2×3=13（2×3×4-1×2×3），

…

n（n+1）=13[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）].

相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）.

类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其结果为.

14.在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC=λOA+μOB，则λ2+（μ-3）2的取值范围是 .

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）

已知函数f（x）=2cosx2（3cosx2-sinx2）.

（1）设θ∈[-π2，π2]，且f（θ）=3+1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=3+1，且△ABC的面积为32，求sinA+sinB的值.

16.（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=12AD.

（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？

若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

17.（本小题满分15分）

已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.

（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？

（2）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

18.（本小题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C的圆心与OA2的中点关于直线A1B1对称且圆C的直径等于线段OA2的长度.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；

（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程.

19.（本小题满分16分）

设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0.

（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]上的最小值；

（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；

（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式lnn+1n>n-1n3恒成立.

20.（本小题满分16分）

一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推.记数表中第i行的第j个数为f（i，j）.

（1）若数表中第i （1≤i≤n-3）行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；

（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）关于i的表达式；

（3）在（2）的条件下，若f（i，1）=（i+1）（ai-1），bi=1aiai+1，试求一个函数g（x），使得Sn=b1g（1）+b2g（2）+…+bng（n）<13，且对于任意的m∈（14，13），均存在实数，使得当n>？时，都有Sn>m.

f（1，1）f（1，2）…f（1，n-1）f（1，n）

f（2，1）f（2，2）…f（2，n-1）

f（3，1）…f（3，n-2）

…

f（n，1）

数学（Ⅱ）（附加题）

21.（选修4—2：矩阵与变换）

设M=1002，N=12001，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.

22.（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知圆的极坐标方程为：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0.

（1）将极坐标方程化为普通方程；

（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值.

23.如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.

（1）求异面直线PC与BD所成的角；

（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？

若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.

24.甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有x个红球、y个白球、z个（x，y，z≥1，x+y+z=10）黄球的箱子中任取一球，乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球.规定：当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜.

（1）用x，y，z表示甲胜的概率；

（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数ξ的概率分布，并求E（ξ）最小时的x，y，z的值.

参考答案

一、填空题

1. PM2. 543. [-1，3]4. -85. a=-16. 20

7. π8. 7109. 110. [1，14）∪（1，+∞）11. 2π3

12. [1，32]13. 14n（n+1）（n+2）（n+3）14. （2，+∞）

二、解答题

15.（1）f（x）=23cos2x2-2sinx2cosx2=3（1+cosx）-sinx=2cos（x+π6）+3.

由2cos（x+π6）+3=3+1，得

cos（x+π6）=12，

于是x+π6=2kπ±π3（k∈Z），因为x∈[-π2，π2]

所以x=-π2或π6.

（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=π6.

在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.

因为△ABC的面积为32，所以32=12absinπ6，于是ab=23.①

由余弦定理得1=a2+b2-2abcosπ6=a2+b2-6，所以a2+b2=7.②

由①②可得a=2，b=3或a=3，b=2.

于是a+b=2+3.

由正弦定理得sinAa=sinBb=sinC1=12，

所以sinA+sinB=12（a+b）=1+32.

16.设PA=1

（1）由题意PA=BC=1，AD=2

∵AB=1，BC=12AD，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=2

由勾股定理得AC⊥CD，又∵PA⊥面ABCDCD面ABCD

∴PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又CD面PCD，∴面PAC⊥面PCD

（2）证明：作CF∥AB交AD于F，作EF∥AP交PD于E，连接CE

∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，平面EFC∥平面PAB，

又CE在平面EFC内，CE∥平面PAB

∵BC=12AD，AF=BC∴F为AD的中点，

∴E为PD中点，故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥面PAB

17.解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用

P=70+0.03×200×（1+2）=88（元）

（2）①当x≤7时

y=360x+10x+236=370x+236

②当x>7时

y=360x+236+70+6[（x-7）+（x-6）+…+2+1]

=3x2+321x+432

∴y=370x+236，x≤73x2+321x+432，x>7且x∈N*

∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f（x）元

f（x）=370x+236x，x≤73x2+321x+432x，x>7

当x≤7时

f（x）=370+236x当且仅当x=7时

f（x）有最小值28267≈404（元）

当x>7时

f（x）=3x2+321x+432x=3（x+144x）+321≥393

当且仅当x=12时取等号

∵393<404

∴当x=12时f（x）有最小值393元

18.解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，所以ba2+b2=13，

于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以椭圆E的离心率e=c2a2=78=144.

（2）由e=144可设a=4k（k>0），c=14k，则b=2k，

于是A1B1的方程为：x-22y+4k=0，

故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=|2k+4k|3=2k，

又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，

所以直线A1B1与圆C相切.

（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k=12，

设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：x-22y+2=0的对称点为（m，n），

则nm-1·24=-1，m+12-22·n2+2=0.

解得m=13，n=423.

所以，圆C的方程为（x-13）2+（y-423）2=1.

19.解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），

b=-12时，由f′（x）=2x-12x+1=2x2+2x-12x+1=0，得x=2（x=-3舍去），

当x∈[1，2）时，f′（x）<0，当x∈（2，3]时，f′（x）>0，

所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（2）=4-12ln3

（2）由题意f′（x）=2x+bx+1=2x2+2x+bx+1=0在（-1，+∞）有两个不等实根，

即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，

设g（x）=2x2+2x+b，则Δ=4-8b>0g（-1）>0，解之得0

（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）

则h′（x）=3x2-2x+1x+1=3x3+（x-1）2x+1，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）>0

所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0

即x21n2-1n3恒成立.

显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln（1n+1）>1n2-1n3恒成立

20.解：（1）数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），则由题意可得

f（i+1，j+1）-f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]

=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d为第i行数所组成的数列的公差）

（2）∵f（1，j）=4j

∴第一行的数依次成等差数列，由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列.

设第i行的数公差为di，则di+1=2di，则di=d1×2i-1=4×2i-1=2i+1

所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2i=2[2f（i-2，1）+2i-1]+2i

=22f（i-2，1）+2×2i=…=2i-1f（1，1）+（i-1）×2i=2i-1×4+（i-1）×2i

=2i+1+（i-1）×2i=（i+1）×2i

（3）由f（i，1）=（i+1）（ai-1），可得ai=f（i，1）i+1+1=2i+1

所以bi=1aiai+1=1（2i+1）（2i+1+1）=12i（12i+1-12i+1+1）

令g（i）=2i，则big（i）=12i+1-12i+1+1，所以Sn=13-12n+1+1<13

要使得Sn>m，即13-12n+1+1>m，只要12n+1+1<13-m=1-3m3，

∵m∈（13，14），∴0<1-3m<14，所以只要2n+1+1>31-3m，

即只要n>log2（31-3m-1）-1，所以可以令λ=log2（31-3m-1）-1

则当n>λ时，都有Sn>m.

所以适合题设的一个函数为g（x）=2x

21.MN=100212001=12002，

设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（x′，y′）.

则12002xy=x′y′，所以x′=12x，y′=2y，即 x=2x′，y=12y′，

代入y=sinx得：12y′=sin2x′，即y′=2sin2x′.

即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y=2sin2x.

22.（坐标系与参数方程）（1）x2+y2-4x-4y+6=0；

（2）圆的参数方程为x=2+2cosα，y=2+2sinα，

所以x+y=4+2sin（α+π4），那么x+y最大值为6，最小值为2.

23.解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），

A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），

（1）∵PC=（0，2，-2），DB=（2，2，0），（2分）

∴cos=PC·DB|PC|·|DB|=422·22=12，

∴=60°，∴异面直线PC与BD所成的角为60°

（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平ADE，记PE=λPB，

∵PB=（2，2，-2），∴PE=（2λ，2λ，-2λ），∴E（2λ，2λ，2-2λ），

∴AE=（2λ-2，2λ，2-2λ），若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，

即PC·AE=8λ-4=0，∴λ=12，E（1，1，1），

又∵AD⊥面PDC，∴PC⊥AD，∴PC⊥平面ADE.

∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.

24.（1）甲取红球、白球、黄球的概率分别为x10，y10，z10；

乙取红球、白球、黄球的概率分别为510，310，210.

故甲胜的概率P=5x100+3y100+2z100=1100（5x+3y+2z）.

（2）ξ=0，1，2，3从而ξ的分布列为：

ξ0123

P1-5x+3y+2z1005x1003y1002z100

由x+y+z=10，

得E（ξ）=1100（5x+6y+6z）=1100（60-x）.

由x，y，z≥1，知1≤x≤8，

故当x=8，y=z=1时，E（ξ）max=1325.