在数学的美感中漫溯培养学生创新思维

史小琴

数学中处处蕴涵着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美，婉约的美与奇异的美，独立的美与统一的美。这些美自然而不造作，高贵而不庸俗，沉稳而不浮躁，冷峻中不失灵动，奇异中又不乏和谐。这些美反映了一种自然的秩序与规律。数学美是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法之中的简单、和谐、奇异、统一等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美。在数学学习的过程中，要让我们的学生体验数学之美，激发学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，从而提高学生的综合能力。数学中，美的因素是多方面的、具体的、意义深刻的，其主要表现在以下四方面。

一、数学的简洁美

爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。数学中绝大部分公式其形式都非常简洁，且其内涵非常丰富。如欧拉公式：V-E+F=2，曾获得“最美的数学定理”的称号。世间有多少多面体，我们都说不清楚，但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式。一个这么简单的公式，给出了无数多面体的共同特性，真令人惊叹不已。

数学图形也非常简单、优美。如华东师大版初一数学（上）第一章P13第六题：请以给定的图形“OO、△△、=”（两个圆、两个三角形、两条平行线）为构件，构思独特且有意义的图形，并写一两句贴切、诙谐的解说词。学生中有很多意义丰富、构思巧妙的图形，如“战车、风筝、笑脸、棒棒糖”等。通过此题，学生为这么简单的几个图形能构成美丽的图案而感到惊奇，从而大大提高他们学习数学的兴趣。

高斯曾说：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的动力。”数学语言和数学符号（如△⊙）就非常简洁，通过数学语言和数学符号的运用，使数学题的推理过程表达准确、简明且逻辑性强。一道数学题的解法往往不止一种，而有的解法比较繁复且使得解题的过程较长，在数学简洁美的驱使下，使我们不满足于会做这道题，而要想有没有简单明了的解法，从而进行更深入的研究。研究过程可使我们更深入地理解数学，而简单解法的得出则能使我们从中得到成功的喜悦，从而对数学也有了更大的兴趣。

二、数学的和谐美

希腊数学家裴安说：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了一种统一的均衡美。” 西方有一句名言：部分与部分及部分与整体之间的协调一致就是美。据此，应用比例的方法，人们找到了造型艺术中具有美学价值的黄金比，并称之为“黄金分割”或“黄金律”。维纳斯像与女神雅典娜像就是美的比例，美的分割，它的下身与全身之比都接近0.618，人体天生有自然美，它的比例也符合“黄金律”。所以用黄金分割点来分割线段，被认为是分割线段中最优美、最令人赏心悦目的点，它所表现出的协调美，是和谐统一的美的典范。

数学中的对称性，也可看成是数学和谐美的一种体现。数学中的对称，几乎无处不在。有几何图形的对称性，如正多边形、圆、抛物线等都是轴对称图形，各种图案和线条构成的图形很多都是对称图形，如中国银行、中国工商银行的标志都是轴对称图形。有代数中的对称性，如一些公式的对称性、杨辉三角的对称、对称的多项式、条件的对称性及结论的对称性。数学中的对称，能使我们欣赏生活中美的图形，提高我们的审美能力，使我们更加热爱生活，感受到数学跟我们的生活息息相关，从而更加热爱数学。

三、数学的奇异美

数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出一种独特和令人惊讶的奇异美。如，对于任意三角形，它们的三条中线（或高线、角平分线、三条边的垂直平分线）都分别交于一点，这并非是一种巧合，显示了一种奇巧美。

数学中的反证法，也可以看成奇异美的一种体现，从正面的方向不行，则从反面出发往往会得到意想不到的效果。比如，要证明■是无理数，如果直接证明的话无从下手，我们从反面出发，反设■是有理数，然后进行证明。我们会发现，反设不成立，即原命题成立。通过从反面出发，使问题迎刃而解，而且构思巧妙，给人一种奇异的美感。

一条辅助线的添加，可以使一道难题的证明豁然开朗。巧妙的解题方法，无不令人心头有一种独特、一种惊讶奇异的感觉。比如，四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别为DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线交于G、H，求证∠AHF=∠BGF。

分析：粗看题目，条件很散，但如联结AC，取AC的中点M，联结WM、FM，利用中位线的性质把条件都集中在△MEF中，问题就得到解决了。这种证明方法，也体现了一种奇特的、令人震撼的美。

四、数学的统一美

数学的统一美，指的是部分和部分、部分和整体之间的和谐一致。数学中的代数和几何，分别研究的是数与形，但是通过直角坐标系的建立，把代数研究的对象和几何研究的对象通过方程和曲线联系在一起，实现了统一。矩形、菱形、正方形都可看做是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质它们也都具有，这样就比较容易记住它们的共性。

椭圆、双曲线和抛物线是三种不同的曲线，但可以对它们统一定义为：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹。当e<1时，形成的是椭圆；当e>1时，形成的是双曲线；当e=1时，形成的是抛物线。这样，通过一个定义，使形状完全不同的三种曲线得到了完美统一。

从数的发展规律来看，数的发展将日益证明数学的统一性。从最早的只有正整数和零，发展成正数和零，初中先是引入了负数把数扩充为有理数，又引入了无理数把数又扩充为实数，到以后还有复数等都是相应的许多具体数学内容统一的结果。数学的发展还促进了科技的发展，促进了人类的进步。

数学美广泛存在数学的各个领域中，关键是要善于发现。数学美是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法之中的简单、和谐、奇异、统一等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美。在数学教学中，我们要充分挖掘这些包含有数学美的素材，着重挖掘数学教材中形象、直观、巧妙等美的因素，使数学美深入学生的身心，留下美好的印象，并逐渐形成对数学美、符号美、图形美的初步感受能力。要注意美的熏陶、启发，发掘数学之美，培养学生的创新思维品质。让学生在数学学习的过程中体验和感受数学的美，激发学生学习数学的欲望，提高学生的学习兴趣，培养学生的审美情趣。