“一题多解”中要注重方法的横向比较

万继方

高中数学灵活多变，方法多样，在平时的例（习）题教学中，常常会碰到一题多解.本来一题多解是培养学生思维灵活性、发散性的重要工具；是提高学生解题能力的重要手段.但如果运用不当，也会造成学生方法混乱、负担加重等不良后果.现结合自己的教学实践，谈谈教学中加强方法横向比较的重要性.

一、通过方法的横向比较，训练学生思维的批判性

“批判是创新的基石.”有比较就有批判，因此通过方法的横向比较，可以培养学生的批判性思维，深化对各方法的认识，从而提高学生的解题能力，甚至获得创新的解法.

上述两种方法是求线面角的基本方法，解法1称为定义法，有三个步骤：一作二证三求，作是关键，也是难点，一般如果可以作出线面角，就能比较容易求出此线面角的大小.解法2称为向量法，必须可以建系，求出相关点的坐标.如果可以建系和求出相关点的坐标，后面的过程就程序化了.

我们必须用批判的视角去看待两种方法，各有优劣，各有限制.

二、通过方法的横向比较，训练学生思维的严谨性、科学性，避免方法混乱

在教学实践里，教师常常有这种感受，本来教师教的方法越多，学生解决问题的手段应该多了，但相反学生解题能力却更差了.究其原因，是因为方法多了后，造成学生思维和方法上混乱.因此教师在“一题多解”教学中一定要加强方法的横向比较，让学生明白每一种方法的优劣、使用限制，训练学生思维的严谨性、科学性，能够根据不同题目，灵活地选择合适的方法.

这三种方法各有优劣.利用线面垂直的判断定理证垂直，逻辑推理严密优美，但有时有一定的技巧.利用向量法证垂直，过程程序化了，没有思维量，有时有一定的计算量.利用坐标法证垂直，前提条件是可以建立空间直角坐标系，一旦可以建系，整个过程也就程序化了.由于高考中证垂直一般是立体几何大题的第一问，难度不大，一般利用线面垂直的判断定理就可以证明了.如果感觉证明有困难，马上放弃，再选择向量法或坐标法.

有了这种横向的比较，不仅培养了学生的批判性思维，也深化了对各种方法的认识.

三、通过方法的横向比较，优化解题过程

数学是所有学科中最让学生感到时间不够的学科.原因很多，其中一个重要的原因是学生不能找到最佳解题方法，浪费了宝贵的时间.因此，教师一定要注重方法的横向比较，优化解题过程，让学生使用最佳的解题方法，争取到宝贵的时间.

就本题而言，解法1更优.这两种方法是求圆的方程的基本方法.待定系数法，步骤程序化，没有思维量，只是有一定的计算量.几何性质法，充分利用圆的一些性质，求出圆心的坐标及半径.如果不能及时利用几何性质求出圆心坐标，就使用待定系数法.唯有明白这两种方法的优劣，才能因题而异，找到最佳的解题方法.

“一题多解”中加强方法的横向比较的上述三个原因是相辅相成的，无法切割的统一体.

（作者单位 湖北省监利县第一中学）