基于微积分应用的研究

赵志刚

一、前 言

早在17世纪微积分这门学科就产生了，这是数学上的一个伟大的创造.自从产生以后，它不只是对数学学科，对社会的生产技术和科学的发展都产生着重要的影响.现在，微积分对于人们生活来说更是一种不可缺少的实用性工具.它的存在一直推动着社会的不断进步，一直推动着生产力的持续发展.通过对这门学科的深入研究可以解决诸如航海、矿山建设等课题，通过在物理学科、经济学等方面的具体应用，凸显出微积分对于生活的重要意义.

通过本文，笔者将一一呈现微积分这门学科在数学、物理学、经济学等学科中的应用，以凸显这门学科对于生活的重要作用，以便与众多专家、学者进行交流，并希望得到大家的斧正与指点.

二、微积分在数学中的应用

微积分本身就是数学的一个重要的分支.如今它已经独立形成一门学科，在数学中，尤其是在几何学中应用较广泛.

1.求平面图形的面积

在直角坐标情形中，设曲线y=f（x）（≥0）与直线x=a，x=b（a 2.求旋转体的侧面积

设平面光滑曲线y=f（x）∈C1[a，b]，且f（x）≥0，求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.侧面积元素：位于[x，x+dx]上的圆台的侧面积dS=2πydS=2πf（x）1+f′2（x）dx，积分后得旋转体的侧面积S=2π∫baf（x）1+f′2（x）dx.

除此之外，用微积分还可以求平面曲线的弧长、求立体的体积、求旋转体的体积等，在此不做一一列举.

三、微积分在经济学中的应用

在经济领域中，微积分应用的主要作用就是利用相应的函数关系，计算解决实际问题.可以用导数进行定量分析，计算出最优化结果.或是依据导数的某些性质来解释经济学函数图像的走向及原因等问题.利用极限概念有效解决复利、解决弹性计算等问题.此外，还可以用积分求某项目的总成本和总利润等.

在这里我主要探讨下导数在经济学中的应用.导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率.函数y=f（x）在某一点x0的导数表达式如下：若函数y=f（x）在某区间内每一点都可导，则称y=f（x）在该区间内可导，记f′（x）为y=f（x）在该区间内的可导函数（简称导数）.

一般来说，利用导数可以计算边际和弹性问题，用导数来表示边际效用、边际收益、边际利润、边际替代率，等等.

此外，还有边际需求与边际供给、边际成本函数等简单的应用.本质上来说，导数是函数关于自变量的变化率.这一变化率与经济学中的变化率问题是相同的，所以我们可以用所学的导数知识进行分析和解决，简而言之用公式来表示为MRS=-ΔyΔx.

四、微积分在物理中的应用

在物理学中，有很多概念都是通过微积分的形式来呈现的.如速度v=drdt，加速度a=dvdt，转动惯量I=∫dm·r2，安培定律dF=Idl×B，电磁感应定律ε=-NdΦdt等.

如果是用积分求解物理中涉及的积分元问题时，要注意积分或积分变量的选取和计算，这样才能方便、快捷地计算出结果.而在应用微积分方法求解物理问题时更要注意微元的选取，这是决定解决物理问题的关键，一般都是要选取更大的微分，利用微分和积分互为逆运算的原理进行便捷的运算，同时也要处理好微分和积分的矛盾关系，这样才能保证运算结果的便捷和准确.

此外，微元的选取也并不是分析物理问题最为关键的部分，要充分利用对称性来选取适当的一元微元以保证积分运算的简单、精确.

此外，还可以用微积分相关知识来求侧体压力和引力问题.

五、微积分中体现出的哲学思想

我们都知道数学和哲学是最为古老的学科，它们在长期的发展过程中必然会产生某种联系，相互影响，相互促进.在这样的关系中，数学和哲学取得了较快的发展.

微积分产生后，经历漫长的发展过程，至今定型.这一漫长的过程也是一个不断变化、不断发展的过程，也是永无休止的运动的历史演变过程，体现出了唯物辩证法的科学方法论.这一方法论是关乎人类认识世界和改造世界的理论.它更强调联系、发展、全面地看待问题和处理问题.而在微积分中的任一概念和理论也都存在着产生和发展的历程，也都在进行着运动，也就是演化，在特定时间的状态能呈现出历史的条件和面貌. 而微积分的产生和发展就能很好地体现方法论的基本原则——量变与质变的关系.量变势必出现质变，数学中的分支在一定时期进行长期演变，进行量的积累，最终形成了微积分这门独立的学科.由此看出，辩证唯物主义的方法论为微积分研究提供了基础，它们之间的关系可以这样界定.可以说，微积分中无处不体现出哲学思想，反过来说，哲学也促进了微积分的产生和发展.我们要站在哲学的高度去看待生活中的实际问题，对微积分、高等数学以及生活中的各学科的研究和学习都具有指导作用.我们不应该将某一学科、某一知识进行孤立，要找到它们的对立统一的关系，找到它们的联系和转化，方面我们继续深入地学习和研究.

六、结束语

如今，社会经济和科学都在飞速发展，关于各个学科的研究也都在逐步深入和具体，微积分学也是如此.同时，各个学科之间的联系也更为紧密，在生活中的应用也更为直接和直观.我们要充分认识到微积分对于现实生活及各个学科的重要作用和实际应用，进而最优化地解决相应的问题，实现微积分学科的工具性，促进我们社会和生活的不断进步和完善.