浅析一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系

马方方

【摘要】根据初中数学教材的安排，在七年级学生需要了解一元一次方程及其解法，七年级下半学期学生还要学习一元一次不等式相关知识，而在八年级学生要学习一次函数的知识，并在此基础上了解一次函数的图像.初中生一般对于这三方面知识学习得比较透彻，但是对于三者之间的联系，学生知之甚少，在这方面需要教师的指导.教师应该教会学生把这三方面的知识贯穿到一起，如果学生能够通透地理解这三方面的知识，那么初中数学的学习将会容易许多.

【关键词】一次函数；一元一次方程；一元一次不等式；关系

一、 一次函数的学习

初中数学教材对函数的定义是：在某一个变化的过程中，有变量x和y，当给定一个x值时，就有相应的y值与其对应，y就被定义为x的函数.在初中函数的定义中，只要有一个x值就能确定一个y值，有一个y值就能确定一个x值.一元函数的数学表达式是y=kx+b（k非零），其中当b为零时就是正比例函数，通过该公式更能明晰地看到x和y的一一对应关系，只要确定了x（y），就能确定唯一的y（x）与之对应.在初中数学中x和y组成了一对有序实数对.

初中生还应该学会描绘一次函数的图像.通过求对应值、连线、画图，学生知道了一次函数是一条直线.在坐标轴上只要求出交点坐标并连线，那么这条直线就是y=kx+b的图像，其中正比例函数是过原点的直线.在此基础上，初中生要知道一次函数图像的性质，例如，在k>0，b>0时图像经过第一象限、第二象限和第三象限；而在k>0，b<0时，图像经过第一象限、第三象限和第四象限，并且在k>0时，直线与x轴夹角为锐角，反之为钝角.教师要给初中生灌输这样的观念，凡是满足y=kx+b的x与y的值所对应的点（x，y）一定在直线y=kx+b上.

以y=4x+8为例，学生在看到这个函数时应该知道函数经过第一、二、三象限，函数与x轴的交点是（-2，0），与y轴的交点是（0，8），函数图像和x轴的夹角是锐角.

初中生刚刚从小学阶段上来，在学习方式和学习方法上还很不适应，教师在教授一元一次函数时，不能仅仅依靠课本的内容进行教学，这样容易导致学生产生腻烦情绪，丧失学习一元函数的兴趣.教师在实际教学中可以采取多媒体教学方式进行教学，多媒体教学方式可以直观地反映出教学的内容，给学生一目了然之感，让学生在初步理解一元函数的内容时省时省力，这样就可以克服学生学习新知识的恐惧感，让学生以轻松愉悦的心情去面对初中数学的学习.另外，初中数学老师在设置教学情境时要选取学生熟悉的生活场景，利用学生已有的生活经验进行数学教学可以让数学知识更容易被学生接受.例如，教师可以选取生活中购物或者消费的情境设置一元函数习题，让学生深刻地记忆一元函数相关知识.最后，教师还要鼓励学生多动手做题，一元函数涉及画图像、识象限等方面的问题，初中生在刚刚学习这方面的知识时，如果不能动手练习而只靠自己想象，很难真正理解一元一次函数的本质.教师可以组织学生进行小组互助学习，在小组中教师要鼓励对一元函数知识掌握好的同学帮助其他学生进步，鼓励性格开朗的学生担任小组长和其他小组的成员沟通和接洽，经过一段时间的小组学习，教师还可以组织小组竞赛，给学生一个积极竞争、健康向上的学习氛围，同时也能够让同学之间了解到自己学习的不足，给自己一个客观的评价.

二、 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间的关系

从数学表达式上看，一元函数的表达式是y=kx+b，一元一次方程的表达式是kx+b=0，一元一次不等式的表达式是kx+b>（<）0.由此可见，一元一次方程式表达的是函数y=0时x的数值，而一元一次不等式解决的是y>0或者y<0时x的取值范围.以下举例说明：

以y=3x+6为例，该函数过第一象限、第二象限和第三象限，与x轴和y轴的交点分别是（-3，0），（0，6）.当y=0时，该函数变为一元一次方程，其解为x=-3；当y>0时，该函数变为一元一次不等式，x的取值氛围是大于-3.通过图像观察可知，一元一次方程的解是一元一次函数与x轴交点的横坐标；而一元一次不等式在k>0时，y>0在交点的右边，y<0在交点的左边，当k<0时结论相反.

由以上论述可知，一元一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间是相互联系的，它们在本质上相互渗透，一元一次方程和一元一次不等式在解法上都可以通过观察一元一次函数得到，所以，当学生熟悉了一元一次函数的性质和图像特征时，一元一次方程和一元一次不等式的问题就迎刃而解了.一次函数和一元一次方程以及一元一次不等式均反映了客观事物变化规律，函数描述的是事物变化的过程，方程描述的事物在某一点的状态，即事物变化过程中的某一瞬间的情况，而不等式则反应了在变化过程中的某一方面或者某一侧面，是范围和片段的概念.通过函数、方程和不等式之间的联系和理解，教师要把数形结合的概念深入到学生的思维中去.

总之，教师在教学中应该有意识地把这三方面的知识串联在一起，让学生在学习完一元一次函数之后，能够迅速地理解一元一次方程和一元一次不等式的相关知识，做到融会贯通、举一反三，这样学生才能真正掌握初中数学这三方面的重要知识.

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