帮助学生学会思维

牛献礼

教学内容：苏教版数学四年级下册“运算律”

教学思考：

数学是思维的体操，“帮助学生学会思维”历来是数学教学的应有之义。如何以具体数学知识内容的学习为载体帮助学生学会思维呢？就“乘法分配律”的教学而言，需要我们从学生已有的经验出发，通过数学思维方法的分析，带动、促进乘法分配律的教学，既让学生掌握具体的数学知识，又帮助学生深刻领会并逐步掌握内在的思维方法。

第一，抓住内在不变的“理”来理解外在变化的“形”。

乘法分配律沟通了乘法与加减法的联系，是一种重要的数学模型，也是学生最难理解和掌握的“运算律”。有些学生在学习时就糊里糊涂，始终弄不明白乘法分配律为什么会有形式上的变化；有些学生虽然在初学时会机械地模仿，但很快就遗忘了，更谈不上自觉、灵活地运用……笔者分析，其中最主要的原因是教师在教学时，只重视引导学生对规律的“外形”进行研究，忽视了对规律“内在”的本质进行探究；只是借助不完全归纳法“发现”它“是什么”，至于“为什么”却悬而未决，导致学生对规律的实质体验得不够，领悟得不深。

乘法分配律的实质是“c组（a+b）分成c个a加c个b”和“c个a加c个b配成c组（a+b）”，要让学生充分感知和深入理解，必须始终抓住内在不变的“理”来理解外在变化的“形”。首先，从现实情境引出数学问题，并通过比较计算结果或乘法的意义，把解决问题的两种解法建立一个等式，利用学生熟悉的实际问题帮助他们在首次感知乘法分配律时体验它的合理性；再从个案的等式关系类推到若干同类现象的等式关系，不断丰富学生的感性材料，也体现了科学的认知方法和态度；接着，在学生充分感悟左、右两边算式特点的基础上，引导学生提出猜想，继而举例验证，形成自己的发现；然后，让学生采用语言、文字、符号等各种方式来表达自己的发现，师生合作形成统一范式“（a+b）×c=a×c+b×c”，教师再以“乘法分配律中‘分‘配‘律体现于何处”，引发学生深度思考，形成“c组（a+b）分成c个a加c个b”和“c个a加c个b配成c组（a+b）”的观念，从而真正理解乘法分配律。特别地，在探究新知的过程中，注意渗透“数形结合”的思想方法，让学生结合“形”来研究“数”的运算律，借助丰富的直观表象去感悟乘法分配律的内涵。

第二，关注科学探究方法的指导。

“规律探究”过程中对猜想的验证，采用不完全归纳法，通过大量举例的方式进行验证，这是小学数学教学的特点之一。但举例验证绝不是简单地让学生随意举几个例子。教学中，既要注重引导学生正确地举例，即举的例子要符合“两个数之和乘第三个数”以及“两个数分别乘第三个数然后相加”这样的特征，又引导学生用多种方法正确地验证。同时强调结论的得出必须通过列举大量的例子，只有找不到反例，才能进行归纳，获得结论。当举例验证不能穷尽所有的例子时，引导学生不仅仅关注例子的“量”的增加，还应注意所举例子的典型性和代表性，适时渗透“分类举例验证”的思想，指导学生经历科学的验证过程。使学生举例验证的过程更符合数学思维的要求，也为今后探索乘法分配律在小数、分数范畴内是否成立留下思考空间。

第三，在“说理”中感悟演绎论证的思想方法。

限于小学生的认知水平，在小学数学教学中，较多地使用了举例验证等归纳论证的方式，但有时也可以根据所学数学内容的特点，适时引导学生尝试通过“说理”，体悟演绎论证的方法，促进学生数学思维的发展。在规律猜想、规律验证、规律概括等教学环节结束后，适时引导学生回顾反思，共同归纳、总结研究方法，形成方法结构。在引导学生由“（a+b）×c=a×c+b×c”联想到“（a-b）×c=a×c-b×c”后，适时启发学生：“这样的联想究竟对不对？你能用刚才我们研究乘法分配律的方法，尝试着自己来研究吗？”让学生把学到的数学思维方法自觉进行迁移运用。在学生通过猜想、验证、归纳得出乘法分配律后，没有马上进入练习环节，而是引导学生回顾“一位数乘两位数的算理”及“长方形周长的两种算法”等知识，进一步说明为什么乘法分配律左、右两边的式子是相等的。这样的“说理”让学生经历了演绎论证的思维过程，既沟通了新旧知识的联系，又使数学思维再一次得以提升。

教学目标：

1.经历观察、类比、猜想、验证、归纳等数学活动，进一步体验探索规律的过程，理解掌握乘法分配律并会用字母表示。

2.通过变换、联想等方法深化和丰富学生对乘法分配律的认识，提高学生的数学思维能力。

教学过程：

一、创设情境

1.（出示）学校为一（1）班30名同学定做校服，每件上衣65元，每条裤子45元。每人一套，全班一共需要多少元？

学生默读题目。怎样列式？让学生讲清楚列式的理由。

方法一：65×30+45×30（30件上衣的钱加30条裤子的钱，就是一共要付的钱。）

方法二：（65+45）×30（一套衣服的钱乘以30，就是一共要付的钱。）

随着学生口述列式，引导学生“图文对照”，借助具体图形进一步理解算理。

2.在工人师傅成批制作之前，他们会先做出一件样品，让学校负责买衣服的老师看一看是否满意。下面请同学们帮工人师傅一个忙，看看他做一套校服得用一块多大面积的布料。

出示：

[100厘米][上衣110厘米][裤子90厘米]

独立完成，全班交流：

（90+110）×100（布料的总长度×宽度=布料的总面积。）

110×100+90×100（做上衣用的布料面积+做裤子用的布料面积=一套校服需要的布料面积。）

随着学生口述列式，图文结合，引导学生借助具体图进一步理解算理。

二、探究新知

1.观察特征

师：同学们，看看这些算式，老师发现左边的两道算式感觉蛮像的，你们觉得呢？（学生纷纷点头表示赞同）那你能说说它们像在哪些地方呢？

生1：左边的算式都有小括号。

生2：左边的算式小括号外面都乘上一个数。

师：左边的算式都是先算两个数的和，然后再乘一个数。让我们再来看看右边的两道算式，它们有相同的地方吗？

生1：它们都是先算出两个数的乘积，再相加。

生2：我想补充一点，在相乘的两个数中有一个数是相同的。

师：确实是这样的！

2.引导学生验证，将左右两边的算式组成等式

师：两边算式的结果相等不相等，我们怎样才能知道？

生：计算。（师生共同口算第一组算式）

师：通过计算，第一组算式左右两边都等于3300，在数学上我们可以用等号连接。（师用等号连接第一组算式）接着我们来看第二组算式，咱们提高点要求，谁有本领不用经过精确的计算也能作出判断？可以互相讨论讨论。

（学生讨论）

生：右边算式中的90×100是90个100，110×100是110个100，合起来是200个100；左边的算式正好也是200个100，所以是相等的。

师：非常精彩！从乘法的意义着手，同样说明了问题。现在我们可以放心地在两道算式之间写上等号了。（师用等号连接第二组算式）

师：这两道算式结果是相等了，那算式之间究竟有没有什么联系呢？让我们再轻声地读一下每一道等式，看看有什么发现？

（生轻声读算式）

生：第一道等式左边是65和45的和与30相乘，右边是65和45分别与30相乘，再把两个乘积相加。

师：问题的关键是这样变化后，计算的结果是——

生（齐）：相等的。

师：是呀，带着这样的想法一起看看第二道等式。

生：左边算式是110和90的和与100相乘，右边算式是110和90分别与100相乘，再相加，结果一样。

师：同学们，这两道等式左边的算式先算加法后算乘法，右边的算式先分别相乘再相加，改变了运算的顺序，结果却不变，这样的现象是巧合吗？

生：不是！

师：既然大家都这么肯定，那现在老师写一道算式，你能很快写出一道与它得数相等的算式吗？（板书：（15+10）×4）

生：15×4+10×4。（对应先前算式板书）

师：结果究竟相等不相等？

生1：我们可以分别计算，左边的算式计算结果等于100，右边的算式结果也等于100，所以相等。

生2：我不用算也能发现它们相等。左边算式表示25个4，右边算式是15个4加上10个4，也是25个4，正好相等。

师：哎！看来你们还真发现了一些名堂。那具备这种规律的等式就这三个？

生：无数个。

师：口说无凭，下面就请同学们在练习本上写出两个例子吧。要求先写两道符合这种规律的算式，再验证两边是否相等，最后在小组内交流自己写的式子。

（学生举例并小组交流）

师：谁愿意将你的例子说给大家听听？

生1：我的第一个例子是（1+2）×3=1×3+2×3。

师：怎样证明相等呢？

生1：我是计算的，两个算式都等于9。

生2：我写的是（100+50）×20=100×20+50×20，左边算式等于3000，右边算式也等于3000。

师：这个例子计算起来要麻烦一些，能利用乘法的意义来验证吗？

生：左边算式表示150个20，右边算式是100个20加上50个20，正好也是150个20。

师：老师知道，还有很多同学想和大家分享自己的例子，但有限的时间不允许每个同学都上来展示自己的例子。现在请大家想一想，假设我们班每人写的2个例子都不一样，咱们班35人，共70个例子，再加黑板上的4个例子，一共有了74个例子，举完了吗？

生：没有！

师：既然没有，那么如何保证猜想是正确的呢？（学生面露困惑之色）数学上常用的方法是进行适当分类。例如，先在一位数范围内验证，再向两位数、三位数、四位数的范围拓展，还要重点看看“0”这个特例是否成立，这种验证方法能保证猜想是正确的。另外，还可以用举反例的办法来验证，有没有哪位同学举出符合特征的算式却不相等的例子？

生：没有！

师：确实，凡是符合这样规律的两个式子结果都是相等的。现在问题来了，都说有无数个这样的例子（在先前板书下面板书：……），那如果非要你写出一个等式就能包含所有的例子，你会吗？在练习本上试着写一写。

学生独立思考，全班交流：

生1：（a+b）×c=a×c+b×c。

生2：（□+△）×★=□×★+△×★。

生3：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

……

师：这些方法都能概括我们发现的规律吗？（能）你认为哪种方法更好？说说理由。

师：数学上常用的是字母表达式（板书：a×c+b×c=（a+b）×c），简洁明了，说起来就方便多了。这一规律还有个名字——

生：乘法分配律。（板书：乘法分配律）

师：对！两个数的和与一个数相乘，等于两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。数学家们给这一规律起的名字叫——乘法分配律。它还可以用图形语言表达：

（出示）

[a][c][b]

师：想一想，乘法分配律中“分”“配”“律”体现在哪呢？

归纳：c组（a+b）“分成”c个a加c个b；c个a加c个b“配成”c组（a+b）；“律”即规律。

师：现在我们一起回顾一下刚才的学习过程，我们是怎样得到“乘法分配律”这个规律的。（归纳：猜想—验证—结论）

三、回顾旧知，深化学生对乘法分配律的认识

1.回顾两位数乘一位数的口算

师：其实说起乘法分配律，大家并不陌生，在我们以前的学习中就已经接触过，现在让我们一起回顾一下。

二年级时我们学过“两位数乘一位数”：14×2是怎么算的？你能找到乘法分配律的影子吗？

生：14可以分成10和4，2个10和2个4加起来正好是28，所以14×2=28。

师：将这种想法用等式表示出来就是14×2=10×2+4×2，这样的想法不正符合我们刚学的乘法分配律吗？

2.回顾长方形周长的计算方法

[篮球场长28米，宽15米。][篮球场的周长是多少米？]

师：怎样求出篮球场的周长？

生1：28×2+15×2。

生2：（28+15）×2。

师：这两道算式自然是相等的（出示：28×2+15×2=（28+15）×2），你再仔细看看这道等式，想到了什么？

生（齐）：乘法分配律！

师：看来，咱们数学学习前后有着非常密切的联系，这就告诉我们要扎扎实实地上好每节课。

四、巩固练习

在□里填上合适的数，在○里填上运算符号。（课件逐一出示）

（42+35）×2=42×□+35×□

15×26+15×14=□○（□○□）

15×26+15×14=□○（□○□）

72×（30+6）=□○□○□○□

2.出示：（20-8）×5=□○□○□○□

师：感觉有些不一样了吧，你觉得可能等于什么？

生：25×5-8×5。

师：怎样才能确认呢？

生1：可以算一算。左边的算式等于60，右边的算式也等于60。

生2：也可以直接想，左边算式是12个5，右边算式是20个5减去8个5，也是12个5。

师：面对这道等式，回想我们刚学的乘法分配律，你能联想到什么？

生：（a-b）×c=a×c-b×c。（课件出示）

师：这样的联想究竟对不对？你能用刚才我们研究乘法分配律的方法，尝试着自己来研究吗？

学生举例验证，全班交流。

师：同学们，刚才通过联想，我们将乘法分配律由“两个数的和”拓展到了“两个数的差”。这是一种很有价值的思考。你还能联想到别的吗？（引导：如果把乘法分配律中“两个数的和”换成“三个数的和”“四个数的和”或“更多个数的和”，结果还会不会不变？怎样验证？）

五、课堂总结

这节课我们学习了什么？我们是怎么得到乘法分配律的？你学到了哪些有用的方法？