浅谈列一元一次方程解应用题的教学技巧

陈本慧

摘 要：一元一次方程解应用题是初中数学教学的重点和难点之一，寻找等量关系又是列方程解应用题的关键，从如何寻找等量关系、如何利用等量关系列方程、如何设未知数来探讨列一元一次方程解应用题的教学规律。

关键词：一元一次方程；解应用题；等量关系；列方程；解题规律

一元一次方程解应用题是初中数学教学的重点和难点之一，也是所有列方程解应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用、分式方程的应用、一元一次不等式（组）的应用等教学有着至关重要的作用，也是初中数学理论联系实际的一个重要方面，通过列一元一次方程解应用题的教学，可以很好地培养学生分析问题和解决问题的能力、增强学生的逻辑思维能力，但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强，而分析能力却相对较弱，因此，要提高初一年级数学应用题的教学效果，除了要逐步提高学生的数学分析能力外，及时地给学生以解题方法论的指导，也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的问题。

一、寻找等量关系是列方程解应用题的关键

列方程解应用题中最关键的是怎样正确地找出能够表示应用题全部含义的等量关系。要找到等量关系，首先，要分析每一道应用题属于哪种类型，量与量之间有什么基本关系式。如，在行程问题中的路程、速度、时间三者的关系；工程问题中的效率、时间、工作总量三者的关系；销售问题中的进价、定价、售价、利润和提价或降价的百分率的关系等。其次，要从多角度出发，引导学生根据未知数与已知数，已知数与已知数的关系去寻找等量关系，当等量关系比较隐蔽时，还可借助图解形象直观地反映数量关系，便于学生寻找等量关系。

例如，某校师生到离学校28千米的地方游览，开始一段路步行，速度是4千米/小时，余下路程乘汽车，速度为36千米/小时，全程共用了1小时，求步行所用时间。

这道题相对较简单，可先找到表示等量关系的语句“全程共用了1个小时”即步行时间和乘车时间一共用了1个小时。以及由题意可知道的路程由步行路程和乘车路程组成，即步行的路程和乘车的路程之和等于28千米。如果设步行时间为x小时，那么有：

速度 时间 路程

步行 4千米/小时 x小时 4x千米

乘车 36千米/小时 （1-x）小时 36（1-x）千米

在这道题中时间表示已知量和未知量的关系，而路程表示方程的等量关系。

可列方程为：4x+36（1-x）=28

从而可解出这道题。

二、如何利用等量关系列方程

在一元一次方程的应用题中，有时只能找到一个等量关系，这种题较容易解决，但有些应用题往往可以找到两个等量关系，这时怎么解呢？笔者通过多年的教学实践，发现许多有关一元一次方程的应用题有以下规律：设用第一个相等关系，就以第二个相等关系来建立方程；设用第二个相等关系，就以第一个相等关系来建立方程。

例1.小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新年龄的3倍，求现在小新的年龄。

本题有两个相等关系：

（1）代差：父亲年龄-小新年龄=28

（2）父亲现在年龄=3×小新现在年龄

方法一：设用第一个相等关系，设小新现在年龄为x岁，则父亲现在年龄就为x+28岁，就以第二个相等关系来建立方程：

x+28=3x

x=14

方法二：设用第二个相等关系，设小新现在年龄为y岁，则父亲现在年龄就为3y岁，就以第一个相等关系来建立方程：

3y-y=28

y=14

下面以一元一次方程解应用题中的行程问题为例，行程问题有三个量：路程、速度、时间，往往已知一个量，同时还有有关另外两个量的相等关系，设用其中一个相等关系，就以另一个相等关系来建立方程。

例2.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。

本题是一个行程问题，时间是确定的，另外还有关于速度和路程的两个相等关系，设速度就以路程的等量关系来建立方程；设路程就以速度的等量关系来建立方程。

（1）顺流速度-逆流速度=6

（顺流速度=静水中的速度+水速，逆流速度=静水中的速度-水速）

（2）顺流路程=逆流路程

方法一：设用第一个相等关系，设船在静水中的平均速度为x km/h，则船的顺利速度为x+3 km/h，则船的逆水速度为（x-3）km/h，就以第二个相等关系来建立方程：

2（x+3）=2.5（x-3）

x=27

方法二：设用第二个相等关系，设甲、乙两码头相距y千米，就以第一个相等关系来建立方程：

y/2-y/2.5=6

y=60

y/2-3=27

例3.小花的妈妈为爸爸买一件衣服和一条裤子，共用了306元，其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折。衣服的标价为300元，裤子的标价是多少？

本题有两个相等关系：

（1）商品的售价=商品的标价×折数

（2）衣服的售价+裤子的售价=总和

方法一：设用第一个相等关系，设裤子的标价为x元，则裤子的售价就为0.8x元，就以第二个相等关系来建立方程：

300×0.7+0.8x=306

解得x=120

方法二：设用第二个相等关系，设裤子的售价为y元，则衣服的售价为306-y元，就以第一个相等关系来建立方程：

306-y=300×0.7

解得y=96

裤子的标价=y÷0.8=96÷0.8=120

这样反复训练几道题，我相信学生一定能从中找出一元一次方程解应用题的解题规律，从而能很好地培养学生分析问题和解决问题的能力。

三、使学生掌握设未知数的技巧

设未知数是列方程解应用题的关键步骤之一，通过上面的训练，我们应该知道并非都是只能问什么就设什么，恰当地设未知数往往能起到事半功倍的效果，初学者往往难以掌握，教师要教会学生设未知数的方法。设未知数常用两种方法：

1.直接设元法

当题中等量关系能明显表示出所求未知量时，可以采用直接设未知数的方法，即在题目里问什么，就设什么做未知数。这样设未知数后，只要求出所列方程的解，就可以直接得到题目所求，在多数情况下都可以用直接设元法来解方程。例如，小颖种了一株树苗，开始时树苗高约40 cm，栽种后每周树苗长高约5 cm，问大约几周后树苗长高到1米？这个问题就宜采用直接设元法。

2.间接设元法

当直接设未知数列方程比较困难或列出的方程不易求解时，可以采用间接设元法，即设所求问题相关的间接未知数。这种方法特点是先将所设未知数求出来，然后通过题意再将题中所求未知量求出来。例如，一个两位数，个位与十位上的数字之和为7，若把它们十位上的数字与个位上的数字对换，所得到的两位数比原来的两位数大27，求这个两位数。直接设这个两位数是做不出来的，此问题就应采用间接设元法，可设个位上的数字或者设十位上的数字。然而，有些问题既可以采用间接设元法，又可采用直接设元法，从而形成一个问题的多种解法，对于这样的问题，要求学生选一种简便的解法。

随着新课程改革的深入，如何更好地培养学生运用数学知识解决实际问题的能力显得越来越重要，所以应用题的教学不容忽视。作为数学教师在思想上要高度重视，在行动上要精心安排，认真落实优化应用题教学，始终着眼于学生应用意识和能力的提高，应用题将很好地促进素质教育的发展，学生素质也将会在应用题教学中得到显著提高。

参考文献：

朱慕菊.走进新课程：与课程实施者对话.北京师范大学出版社，2002-06.

（作者单位 云南省曲靖市沾益县第五中学）