生活中不等关系的应用

刁克

【设计说明】

教师以一次观影之旅为主线，将学生自然地带入一种数学情境，在这个情境中让学生自主发现、合作探究有关不等关系在生活中的实际问题。通过对问题环环相扣、层层递进的设置，教师用幽默的教学语言和轻松的教学形式让学生情绪放松，在不知不觉中感受数学的魅力和解决数学问题的愉悦。教学过程充分发挥学生的主体作用，让学生在体验、参与、研究学习中，运用所学的知识，积极改善自己的交际能力和培养与他人的合作能力，最大限度地开发学生的潜能，激发学生学习数学的愿望和兴趣。

【教学目标】

1.通过具体情景，知道日常生活中存在着大量的不等关系。

2.以问题代替例题，学生根据实际问题学会列出不等关系及使用不等关系解决具体问题。

3.通过自主发现、小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

【教学重点与难点】

重点：通过具体情景，建立不等式模型。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程及意图】

1.引入。

师：同学们好，我对扬州的印象是从李白的一首诗开始的。

故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。

看到这么多人来听课，我们先来看看烟花三月扬州的美丽的风景，大家放松一下紧张的情绪。

2.生活中的不等关系。

师：看看今天天气、车况、乘车条件。（播放幻灯片）

师：还有同学能够补充吗？

生：有胎压、限速、限重、天气、身高、体重和酒驾、醉驾。

师：那么能不能用数学语言或数学符号把它们表达出来呢？

生：今天的温度2℃≤t≤16℃

汽车的胎压2.2≤p≤2.5

乘车要求身高x和体重y要满足140cm≤x≤190cm40kg≤y≤100kg

车速0km/h

酒驾20mk/ml

醉驾x≥80mk/ml

师：很好，大家有没有注意到我们使用什么符号表示这些关系的呢？

生：不等号。（引出本节课要研究的主题：不等关系）

师：大家在回答上面的不等关系时，有没有注意到一些关键性的词语呢？

生：高于、低于、不大于、不小于、介于……之间、超过、不低于等。

师：这些词语很重要，它是我们准确表示不等关系的关键。我们把它们叫做不等关系词，我们需要准确地区分这些不等关系词，比如高于的不等关系符号是“>”，还有不大于就是“≤”等等，我们还要注意生活中的语言与数学语言的区别，比如说身高在140cm到190cm之间，请大家想想怎样用不等关系表示呢？

生：身高x满足140cm

师：还有同学有不同想法吗？

生：身高x满足140cm≤x≤190cm。

师：这就是生活语言和数学语言的区别，数学中的“之间”代表包含端点的意思，所以第二个同学的回答是正确的。

师：请同学们想一想身边还有哪些不等关系呢？比如说老师的腰围会在什么范围之内？

生：我所穿的鞋子在20码到40码之间。

生：我的眼镜度数大于100小于300。

师：看来数学与我们生活息息相关，无处不在啊。

3.不等关系在实际生活中的数学模型。

（1）一元一次不等关系的数学模型。

【从简单的问题入手，容易打开学生思路。利用不等关系建立一元一次不等式数学模型解决实际问题。为后面的变式做铺垫，使学生理解变式问题过渡更自然。】

问题1：《西游：降魔篇》普通票，每位60元。团体票：50人以上（含50人），8折优惠。那么看《西游：降魔篇》是买团体票划算还是买普通票划算？

师：我们知道要是人数超过50或等于50人，当然要买团体票，那么是不是人数少于50都要买普通票呢？假如我们人数不足50人，到底买哪种票合适呢？大家讨论一下。

生：当人数少于50时，团体票是60×0.8×50=2400元，用=40，所以多于40人买团体票，少于40人买普通票。

师：这个同学回答得非常好，不过他用的是等式的方法来解决这个问题的，那么有没有同学能用不等关系解决这个问题呢？

一个学生边讲边板书：

解：设看电影的学生有x人（x<50），

当60x>50×60×0.8时，买团体票划算，所以x>40。

答：x>40时买团体票划算；x<40买普通票划算；x=40两种价格一样。

师：影院为了增加收益对家庭观影也提出优惠方案。方案甲：如果户主买一张票，其余家庭成员可享受五五折优惠。方案乙：家庭观影算集体票，按七五折优惠。那么哪种方案最优惠呢？

【此问题仍是一元一次不等式数学模型的具体应用。此题是“问题1”的拓展，提高了对学生的思维要求，强化学生分类讨论的意识，提高学生的思辨能力。通过计算两种方案，让学生学会比较不同优惠结果，从而得出结论，提高学生分析数据，利用计算数据解决实际问题的能力。】

学生分组讨论，教师到各组参与讨论。

生：设家庭有x人要看电影，甲、乙两种方案的收费总额分别为y甲，y乙，

则y甲=60+0.55×60（x-1），y乙=0.75x×60

60+0.55×60（x-1）>0.75×60

∴x<且x∈N

答：两口之家选择方案乙比较优惠，三口之家或多于三口的家庭选择甲方案比较优惠。

（2）一元二次不等关系的数学模型。

教师拿出一个小玩偶，展示给学生。

问题2：电影《西游：降魔篇》推出配套商品“西游人偶”来增加收益，已知“西游人偶”进价每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每件涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得不少于6000元的利润，该商品的价格应满足怎样的不等关系呢？该商品应定价为多少元时，商场才能获得最大利润？

【从这个实际问题中让学生懂得进价、售价、成本、利润、销售额等概念，理清各量之间的关系。从变量设法的不同角度来解决此问题，主要培养学生解决问题的灵活性。通过学生板书，强调解题规范性。让学生理解和掌握利用不等关系建立一元二次不等式数学模型解决实际问题。】

生：设每件涨价x元，要想获得不少于6000元的利润，则

（60+x-40）（300-10x）≥6000

师：大家看看他列出的不等关系是否正确，有没有什么问题呢？

生：x∈N

师：很好，因为涨价是以元为单位涨的，所以要有限制，还有问题吗？

（学生不语，显然没有发现定义域不完整的问题。）

师：大家知道，建立不等关系要满足实际意义，如果我们把价格一直涨上去，利润会一直加上去吗？

生：不能，因为当涨价30元时，一件也卖不出去了。

师：对了，所以x∈[60，90）且x∈N，这是我们处理函数或不等关系问题的前提，就是定义域问题。

生：设每件定价为x元，x∈[60，90）且x∈N，要想获得不少于6000元的利润，则

（x-40）[300-10（x-60）]≥6000

师：看来这个同学已经提前预习了一元二次不等式的解法了，这可是我们第二节课才要学习的内容，希望大家都能养成预习的好习惯。大家看看商场的最大利润又是多少？此时的价格是多少？

生：设每件定价为x元，x∈[60，90）且x∈N，商场能获得的利润为y元，

则y=（x-40）[300-10（x-60）]=-10（x-65）2+6250，所以当x=65时，y有最大值为6250。

答：当每件商品定价为65元时，商场能获得最大利润为6250元。

生：设每件涨价x元，x∈[0，30）且x∈N，商场能获得的利润为y元

则y=（60+x-40）（300-10x）=（20+x）（300-10x）=-10（x-5）2+6250，所以当x=5时，y有最大值为6250，此时商品的定价为60+5=65元。

答：当每件商品定价为65元时，商场能获得最大利润为6250元。

师：同学们的回答都非常好，由此看来学好数学可以帮助我们解决很多实际问题。

（3）二元一次不等式组（线性约束条件）的数学模型

问题3：

假设甲片是小成本电影，周星驰与王宝强演员费预算不得超过500万，乙片，周星驰与王宝强演员费预算不得超过1000万，如果周星驰两部电影中的出场时间都是x分钟，王宝强在两部电影中的出场时间都是y分钟，并且周星驰两部电影的出场总时间不得低于2小时，王宝强两部电影的出场总时间不得低于1.5小时。周星驰和王宝强的演出时间x、y应满足怎样的关系？

【让学生学会根据题目建立多个不等条件同时成立的不等关系问题，不等关系在二元一次不等式组（线性约束条件）中的应用。通过此题让学生学会根据题目准确地列出二元一次不等式组，为后面利用线性约束条件解决目标函数问题做好铺垫。】

生：5x+y≤50010x+3y≤10002x≥22y≥1.5

师：其他同学有不同想法吗？

生：应该是5x+y≤50010x+3y≤10002x≥1202y≥90

因为他们的出场时间是按分钟计算的。

师：非常好，这位同学观察很仔细，对问题中的不等关系观察得很准确，首先我们要注意问题中的单位换算，然后我们一起来看看这个问题中有几个不等关系，你们是不是也会很准确地找出来。

生1：第一个不等关系是：甲片周星驰与王宝强演员费预算不得超过500万，关键词是“不得超过”，所以有5x+y≤500。

生2：第二个不等关系是：乙片周星驰与王宝强演员费预算不得超过1000万，关键词也是“不得超过”，所以有10x+3y≤1000。

生3：第三个不等关系是：周星驰两部电影的出场总时间不得低于2小时，王宝强两部电影的出场总时间不得低于1.5小时，关键词是“不得低于”，所以有2x≤120，2y≤90。

师：同学们都很仔细认真，观察力很强。利用数学知识解决实际问题，就需要这样的观察力和严谨性，希望同学们把这么好的习惯保持下去。

师：我们再思考一个问题。《西游：降魔篇》剧组为影片上映做宣传，准备制作宣传海报，已知宣传海报由钢管支撑，要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？

【对学生强调满足多个不等关系建立的巩固练习和对容易漏掉某种条件（如x∈N，y∈N）的强调。】

生：设截成500mm的钢管x个，600mm的钢管y个。

则x，y所满足的条件为500x+600y≤4000y≤3x

师：其他同学看看她解得对不对？

生：老师，我觉得不需要这么麻烦，一个关系式就可以了：

y=≤3x

师：大家看看这个式子，因为y表示600mm的钢管的根数，所以要y=成立，就必须没有余料剩下来，但是实际中会不会有余料剩下来呢？

生：会的。

师：所以不能用这个式子表示600mm的钢管的根数。

师：那么，同学们看看下面这个不等关系式还缺什么呢？500x+600y≤4000y≤3x

生：应该加上x∈N，y∈N。

所以x，y所满足的条件为500x+600y≤4000y≤3xx∈Ny∈N

师：很好，我们在实际应用中建立不等关系时，第一要注意不等关系要符合实际意义，第二要注意所设未知量的单位。

4.当堂反馈。

1.《西游：降魔篇》剧组决定给群众演员提供快餐，快餐以面粉和大米为主食，已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位。现要求每盒快餐至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，设每盒快餐需面食x（百）克，米饭y（百）克，试写出x，y所满足的条件。

解：根据题意可列表为

x，y所满足的条件为6x+3y≥84x+7y≥10x≥0y≥0

师：这个题目有些同学一时没有找准不等关系，大家可以试着做一个表格来帮助我们解决这个问题，利用图形、图象解决数学问题是我们数学中一种重要的学习方法——数形结合法。

2.下表给出了三种食物X、Y、Z的维生素含量及成本：

《西游：降魔篇》剧组为了给群众演员增加营养，欲将这三种食物混合成100kg的食品分发给群众演员，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X、Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x、y应满足怎样的关系？

解：因为X、Y两种食物各取xkg、ykg，所以食物Z应取（100-x-y）kg。

300x+500y+（100-x-y）300≥35000700x+100y+（100-x-y）300≥40000100-x-y≥0x≥0y≥0

化简可得y≥252x-y≥50x+y≤100x≥0y≥0

师：部分同学在设未知量的时候，设了3个，分别是三种食物各xkg，ykg，zkg其实根据食物的总重量为100kg，我们只要设两个未知量就可以了，第三个用100-x-y就可以表示了，在设未知量解决问题时，应该尽量减少未知量的个数，这样便于我们后面解决问题。

3.由于钢管造价太贵，《西游记2》剧组决定改用条形钢材制作宣传海报，把一批长为2.5m的条形钢材截成长为60cm和43cm两种规格的零件毛坯，若要使得余下的废料最少，为了节省开支，求这批钢材的最大利用率。（利用率=）

解：设截成长为60cm和43cm两种规格的零件毛坯分别为x根，y根

则60x+43y≤250x≤4y≤5x，y∈N

①当x=4y=0时，每根条形钢材余料为250-4×60=10cm

②当x=3y=1时，每根条形钢材余料为250-3×60-1×43=27cm

③当x=2y=3时，每根条形钢材余料为250-2×60-3×43=1cm

④当x=1y=4时，每根条形钢材余料为250-3×60-1×43=35cm

⑤当x=2y=3时，每根条形钢材余料为=99.6%

5.课后自主学习提高。

（1）《西游：降魔篇》中唠叨的唐僧有一句台词叫“糖水加糖，甜更甜。”你能用不等关系表示这句话的含义吗？

【此题是本节课建立不等关系内容的加深，既要学生会根据具体问题分析未知量的设法，也要会根据问题条件建立适当的不等关系。】

（2）根据前面周星驰和王宝强的拍摄计划表，如果你是王宝强的经纪人，你能算出王宝强在两部电影里最多能赚多少钱吗？

【此题是在已建立的不等关系基础上求解，为后面学习线性规划和求目标函数问题做铺垫，提高学生学习兴趣。】

6.回顾巩固。

（1）让学生感受生活中的数学，培养学生学习数学的兴趣。

（2）通过合作学习让学生掌握建立不等关系的几种数学模型：一元一次不等式；一元二次不等式；二元一次不等式组（线性约束条件）。

（3）让学生学会使用不等关系解决方案、选取、售价、销量、利润等实际应用问题。

（4）通过问题和思考将一些重要的数学思想（如分类讨论、数形结合等）逐步渗透到学生的解题思路中，使学生的数学思维得到拓展和提高。

（5）通过学生之间的合作探究和自主发现，培养学生利用不等关系解决实际问题的能力。

（作者单位：江苏省张家港市崇真中学）