运用坐标法解决平面向量的最值问题

卫保新

摘要：本文通过对三个数学例题的简要分析，简要谈了应如何运用坐标法解决平面向量的最值问题，并提出了笔者的一些体会。

关键词：坐标法；平面向量；最值问题

在平面向量中，解决有关最大、最小值问题是高考命题中一个比较常见的热点问题，题目主要考查平面向量的数量积、向量的模、向量的基本运算等重要知识点。解题的方法除了运用数量积的定义，也可运用数量积的坐标运算。知识综合运用三角、不等式、函数等内容。解题的思想体现了数形结合、等价转换、函数与方程等思想方法。在高考和平时的课堂教学中，学生解题过程时很难联想到引入直角坐标系、运用坐标建立函数模型、不等式模型解决问题。

那么，如何建立适当的直角坐标系呢？一是抓住题中直接或间接的垂直关系；二是抓住题中定量与不定量的关系；三是抓住是否有利于图形写出方程的简单化；四是抓住点的坐标更容易写出；五是所建立的直角坐标系不影响求解的结论。

下面用具体例子说明建立直角坐标系、运用坐标法解决平面向量最值问题（以下的解法仅给出坐标法说明，原标准方法在此不再列出）

例1.（2010年高考全国卷） 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）。

解：建立直角坐标系如图，设圆的方程，

不妨设P在y轴上，设P（0，t）（t>1）

则 ，

化简得

故

当且仅当时等号成立 ，的最小值为.

说明：在例1中原题中没有给出图形，学生在解决问题时虽然能作出图形，由于点P的不确定性，所以学生不容易联想到建立直角坐标系把问题代数化，在P点的选择技巧上，由于圆外一点均可作出圆的两条切线，并且无论点P位于何处，总可以以PO为x轴或y轴建立适当的直角坐标系。本题运用了重要的知识点——平均值不等式求最值。

例2.（2011高考全国卷）设向量满足，

则的最大值等于（ ）.

解：建立直角坐标系如图，

设 则AC，BC的斜率

化简得： 即圆M：

的最大值即为圆M上的点到原点距离的最大值为.

说明：在原题目中没有给出相应的图形，在画出的常规图形也难以使学生联想出到建立直角坐标系，用坐标法去解决问题。在原标准解法中，难点在于学生在作图中存在不定点C的确定，还有向量夹角的理解，另一难点发现不了对角互补时四点共圆，且在情况下，才使得OC可以过圆心，作为直径时，弦长最大即最大。对于运用坐标法解决问题，学生存在对建立坐标的意识不够，对如何建立适当的直角坐标系，认知也不透。本题考虑到的特殊性，并且坐标易写出的特征，问题得以转化为坐标法，再进一步结合了几何法解决。

例3.（2009安徽高考） 给定两全长度为1的平面向量和，它们的夹角为120O，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若，其中，则的最大值是_____________.

解：不妨令，问题转化为求的最大值，如

图建立直角坐标系，则

，点C在圆上

即 由平均值不等式

且

所以的最大值为2 （这里也可以令构造函数模型）

说明：在原标准解法中，在两边点乘向量、转化为模，且点乘后相加，还有得出，在教学中发现，学生都不容易推理得到。本题从所给出的图形中就可以联想到建立坐标系，由A，B的坐标写出C点坐标进一步构造成不等式或函数的模型解决问题。

从以上三道例题可以看出，在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系。在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时，培养学生建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、平均值不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法。这使学生在碰到困难时，有更强的解决问题的能力。所以，在教学中，教师要想办法贯穿几何法、坐标法两条教学主线，让学生能在学习中站在高处看问题，解决问题的方法更丰富。教会学生建立适当的直角坐标系，引入了坐标也能很好地运用函数与方程的思想、曲线与方程的思想、函数与不等式等，同时也能培养学生养成良好的数学素养。