立体几何·点、线、面

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 下列命题中错误的是（ ）

A. 如果平面[α⊥β]，那么平面[α]内一定存在直线平行于平面[β]

B. 如果平面[α]不垂直于平面[β]，那么平面[α]内一定不存在直线垂直于平面[β]

C. 如果平面[α⊥γ]，平面[β⊥γ]，[α⊥β=l]，那么[l⊥γ]

D. 如果平面[α⊥β]，那么平面[α]内所有直线都垂直于平面[β]

2. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

[正（主）视图][2][侧（左）视图][俯视图][2] [2][2] [2]

A. [2π+23] B. [4π+23]

C. [2π+233] D. [4π+233]

3. 空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 非充分非必要 条件

4. 如图，四棱锥[S-ABCD]的底面为正方形，[SD⊥]底面[ABCD]，则下列结论中不正确的是（ ）

A. [AC⊥SB]

B. [AB]∥平面[SCD]

C. [SA]与平面[SBD]所成的角等于[SC]与平面[SBD]所成的角

D. [AB]与[SC]所成的角等于[DC]与[SA]所成的角

5. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面的面积与球的表面积的比（ ）

A. [316] B. [916] C. [38] D. [932]

6. 平面[α]的斜线[AB]交[α]于点[B]，过定点[A]的动直线[l]与[AB]垂直，且交[α]于点[C]，则动点[C]的轨迹是（ ）

A. 一条直线 B. 一个圆

C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支

7. 已知正方体外接球的体积是[323π]，那么正方体的棱长等于（ ）

A. [22] B. [233]

C. [423] D. [433]

8. 关于直线[m，n]与平面[α，β]，有以下四个命题：①若[m∥α，n∥β]且[α∥β]，则[m∥n]；②若[m⊥α，n⊥β]且[α⊥β]，则[m⊥n]；③若[m⊥α，n∥β]且[α∥β]，则[m⊥n]；④若[m∥α，n⊥β]且[α⊥β]，则[m∥n].其中真命题的序号是（ ）

A. ①② B. ③④

C. ①④ D. ②③

9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）

A.[22] B.[32] C.[2] D.[3]

10. 在半径为[R]的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径[r]的最大值为（ ）

A. [（6-2）R] B. [（2-1）R]

C. [14R] D. [13R]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 过棱锥一条棱的两个三等分点，分别作平行于底面的平面，这两个平面把棱锥分成三部分，则这三部分的体积之比（自上而下）为 .

12. 如图，正方体[ABCD-][A1B1C1D1]的棱长为1，[E，F]分别为线段[AA1，B1C]上的点，则三棱锥[D1-EDF]的体积为 .

13. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .

14. 下列命题中正确的是 .（填上你认为正确的所有选项）

①空间中三个平面[α，β，γ]，若[α⊥β，][γ⊥β，]则[α∥λ] ②若[a，b，c]为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与[a，b，c]都相交 ③球[O]与棱长为[a]正四面体各面都相切，则该球的表面积为[π6a2] ④三棱锥[P-ABC]中，[PA⊥BC]，[PB⊥AC]，则[PC⊥AB]

三、解答题（共4小题，44分）

15.（10分）如图，已知平面[α]，[β]，且[α?β=AB，][PC⊥α，PD⊥β，C，D]是垂足.

（1）求证：[AB⊥]平面[PCD]；

（2）若[PC=PD=1，CD=2]，试判断平面[α]与平面[β]是否垂直，并证明你的结论.

16. （10分）在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]为直角梯形， [BC∥AD]，[∠ADC=][90°]，[BC=CD=][12AD]，[PA=PD]，[E，F]为[AD，PC]的中点.

（1）求证：[PA∥]平面[BEF]；

（2）求证：[AD⊥PB].

17. （12分）在如图所示的几何体中，面[CDEF]为正方形，面[ABCD]为等腰梯形，[AB∥CD]，[AC=3]，[AB=2BC=2]，[AC⊥FB].

（1）求证：[AC⊥]平面[FBC]；

（2）求四面体[FBCD]的体积；

（3）线段[AC]上是否存在点[M]，使[EA∥]平面[FDM]？证明你的结论.

18.（12分）如图，四棱锥[P-ABCD]中， [BC∥AD]，[BC=1]，[AD=3]，[AC⊥CD]，且平面[PCD]⊥平面[ABCD].

（1）求证：[AC⊥PD]；

（2）在线段[PA]上，是否存在点[E]，使[BE]∥平面[PCD]？若存在，求[PEPA]的值；若不存在，请说明理由.