一道函数题的多视角求解

吉祥

数学教学离不开解题教学，然而解题并不是教学的唯一目的，应当在问题驱动下，巩固学生的数学知识，训练方法，开启心智，驱动思维，促进学生数学思维的发展、数学解题能力的提高.然而目前，教学方法的模式化，教学目标的单一化，教学效果的功利化，都无形地制约和影响学生思维的发展，导致学生思维僵化，“创造”和“变通”的学习能力不强.本文从一道函数题着手谈谈解题视角的多样化，有利于培养学生的良好思维品质，深刻领悟试题的本质.

例题：已知函数，

（1）当a=-3时，求函数的极值；

（2）若函数f（x）的图像与x轴只有一个交点，求的取值范围.

本题的第一问是主要利用函数的单调性求函数的极值，根据求极值的一般步骤便可以解决.第二问涉及函数图像与轴的交点个数，求有关的参数取值问题.下面通过三种不同的视角对第（2）问作分析与求解，以飨读者.

视角1：由函数图像与x轴只有一个交点分析可知，该函数若为单调增，则满足题意；若函数不单调，则该函数存在极大值点和极小值点，因此结合函数的单调区间只要极大值小于零或极小值大于零.

①当△=4-4a≤0时，即a≥1，f（x）在R上单调增，且f（0）=-a<0，f（3）=2a>0，

所以f（x）的图像与轴只有一个交点.

列表如下：

由上表可知为极大值，为极小值.函数的简图如下：

要使得函数f（x）的图像与x轴只有一个交点，

①同解法1中的①；

综合①②得a的取值范围是（0，+∞）.

视角3：解法1、2都运用了分类讨论的思想，而对于含参数取值问题的求解，除了分类讨论之外，有时也可以利用分离参数的方法求解，往往将方程（或不等式）中的所含参数与变量分离出来，转化为研究某一具体函数的性质（函数的单调性、图像或值域等）确定参数取值.本题的函数图像与x轴有一个交点，可转化为方程f（x）=0有唯一解，再实行参数分离.

当x∈（-∞，0）时，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，0）上为增函数.

当x∈（0，1）或x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，所以h（x）在（0，1）和（1，+∞）上为单调减函数.

作出h（x）的图像，如图1所示.

点评：解法3利用分离参数的方法，巧借函数的图像，直观地反映出a的取值范围，使问题的解决简单易行.

变式1：如将本题中的第（2）问变为：“若函数f（x）的图像与轴有两个交点，求a的取值范围.”

结合解法3的图3可知a=0.

变式2：如将本题中的第（2）问变为：“若函数f（x）的图像与x轴有三个交点，求的取值范围.”

同样利用图3易知a<0.

从以上三种不同的视角进行解题可以看出，视角1合乎情理，体现了思维的直接性，但对学生的运算能力要求较高，需要解两个无理不等式，往往会半途而废，无功而返.视角2在视角1的基础上，寻求突破，灵活利用韦达定理巧妙跨越运算障碍，让人倍感轻松.这一解法凸显了思维的灵活性.视角3采用分离参数，另辟蹊径，将问题转化为某一具体函数进行研究，借助函数的图像，直观明了，问题便迎刃而解，凸显了思维的深刻性.视角3让我们从另一角度剖析了试题的本质，并对试题进行了变式探究，提升了实体的价值，激活了学生的思维，可谓一举多得.

变换不同的视角解题，不断优化解题思路，梳理出解决本题的最佳方法，可使思维更灵活，对问题理解更深刻，从而提高学生解决综合问题的能力.在平时的学习中，应该多注意这方面的训练，从而在解决这类综合问题时思路开阔，从容应答.