由一道易错题引起的思考与探索

钟志华

在教学勾股定理这一章时，我在黑板上出了这样一个填空题：

在Rt△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C 所对的边，其中a=3，b=4，则c= 。

此时，很多学生都很快地给出了答案：c=5。我面带微笑，但不做表态，此时有学生举手了：“不对， c应该是5或√7”。很快地，很多学生也反应过来了，都觉得自己一开始给出的答案是错误的，正确答案应该是5或√7。那么，为什么会出现这样的情况呢？

错因分析：

1.受定向思维的影响，学生一开口就知道3、4、5是勾股数，看到有两边是3和4，就不假思索地认为第三边是5；

2.记定理记得不清楚，只知道书上的定理中有这样一个式子：，而没有记清式子前的文字，片面地认为c就一定是斜边；

3.分析题目意思不清楚，只是看到问题的表面，没有更深入地理解；

4.学生对分类讨论思想还不是很熟练；

正确解答：因为题目并没有说清楚哪个角是直角，因此c有可能是直角边，也有可能是斜边，所以要分两种情况进行讨论，根据勾股定理，当c是斜边时应该是5，当c是直角边时应该是√7。

为了更深入地研究这道题，我把这道题进行了以下一系列的引申和反思，让学生讨论交流：

1.如果把这个题目条件弱化，把题目改为“在△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C所对的边，其中a=3，b=4，求c的取值范围。”

答案：1

2.如果把这个题目条件加强，若此三角形是锐角三角形，那么你能求出c的取值范围吗？

答案：c<5。若∠C是锐角，求得1

3.如果此三角形是钝角三角形，那你能求出c的取值范围吗？

按照上题的步骤求得c的取值范围是1

4.你能将这个题目的某些条件或结论作些变化，再编出一个新的题目吗？

学生经过小组讨论后，编出很多很有价值的问题。

（1）如果此三角形是等腰三角形，求c的值。

（2）如果此三角形是直角三角形，且∠C =90°。求斜边上中线？

（3）如果此三角形是直角三角形，且∠C =90°。求斜边上高线？

（4）在△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C 所对的边，a=3、b=4，∠C =90°，求△ABC的周长L和面积S的取值范围。

几点思考：

教师有必要引导学生在解题后做进 一步思考与探索，使学生逐步养成解决问题的一些方法和提一些新的问题，使学生真正懂得“学会学习”。下面笔者结合这个案例就如何引导学生解题后的再思考谈些粗浅的见解，以供同行参考。

1.要引导学生在“观点失真”处思考。课堂探究中，学生往往因自身的主观直觉，或受思维惯性影响，而生成他们自认为正确、而实质上偏离真理的观点。对此，为了发挥解题后的再思考在数学教学中的作用，教师不要急于发表观点，而采用延迟评价、暂停教学的方式，给学生留下冷场空白，留给学生充分的思考时间和空间，学生往往能够自主洞察到原先观点的缺失之处。

2.要引导学生从条件中去思考。在原题中，适当削去一些条件能使结论处于动态，而增加某些条件，能使结论得到加强，提高对条件的削弱和强化往往能挖掘出较为灵活和综合的新题来。

在这个案例中，如果把直角三角形这一条件去掉，则∠C从确定变为不确定，学生看到了一个动态的△ABC，原来能求出的一些基本量相应地都随 的变化而成为变量，能求出一些基本量的范围，如1

3.要引导学生从解题过程中去思考。①思考解题方法。“习题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的思考、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大习题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。②思考解题规律。对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，更有助于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。

4.要引导学生从结论中去思考。①思考结论的推广与引伸。做完一道题后引导学生通过改变原题的知识元素，围绕某一问题进行变换、引伸、拓展。让学生思考解题思路和方向是否变化？可使学生不为完成任务而做题，而是通过总结、多比较，开拓思路，把注意力放在灵活运用知识以及锻炼思维方法上，从而抑制“题海”战术，培养“同中求异”和“异中求同”的思维变通能力，有利于知识归类和归推理能力的提高。②思考改变题目的结论。某一问题解决后， 教师可以提下面的问题：“本题还可以得出那些结论”，这样使结论待定化或多样化，同时解决的背景被撤掉，解法就更灵活了。像案例中“在△A BC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C所对的边，a=3、b=4，∠C=90°，除了求c的值”外，其实还可以求好多值。

当然并不是所有的问题在解题后都须再思考，解题后的再思考也没有固定的模式。如果上课老师经常让学生在解题后再思考的，同时给予学生足够的时间和空间，可培养学生做到会积极思考，会提出问题，会发现问题，会自动探索，会合作交流，会拓展创新，最终使学生能达到“学会学习”的至高境界。从而使学生真正成为数学学习的主人，而不是数学问题的奴隶。