分类思想在初中数学教学中的运用

殷志琴

数学思维是数学学习的重要组成部分，用以实现数学探究、猜想、转化等思想方法.近年来，在初中数学教学中培养学生良好的思维品质，是每一位数学教师积极探索、努力践行的方向，也是符合新课改标准、推行素质教育的有效途径.

数学分类思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.

在初中数学教学中分类讨论的思想贯穿始终，应用分类讨论的思想解决数学问题能起到事半功倍的效果，对学生高效解决问题带来极大的方便.而分类的过程又能充分培养学生思考问题的严谨性和提升学生对数学规律的探索能力.

一、渗透分类思想，养成分类的意识

教师要充分利用学生原有的分类知识和分类能力，把它正向迁移到数学教学、学习中来，形成分类思想的有效渗透.

初一年级的数学就对数域进行了扩充.根据实际生产、生活的需要，以及学生在小学学过正数和零的基础，以0下的气温、存取钱、水位的上升和下降等实际问题引入负数，从而将数的范围扩充到有理数，这时就要引导学生对有理数进行分类，这也是学生在初中阶段首次体验分类思想，并充分感受到分类标准不同，就有不同的分类方法.例如，可以按有理数的定义分类，分为整数和分数；可以按有理数的性质符号分类，分为正数、零、负数；也可以按小数分类，分为有限小数、无限循环小数.通过绝对值的知识也能很好地渗透分类思想.通过数形结合的思想让学生体验绝对值的意义，即一个有理数在数轴上对应的点到原点的距离就是这个数的绝对值，这里重点领悟 “点与点之间的距离”，让学生明白绝对值——距离——非负数之间的联系和渗透，从而产生给有理数的绝对值分类的意识，即“正数的绝对值等于它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数”，形成恰当的分类方式.在学习用式表示数后，又可对式进行分类，即整式分为单项式和多项式，通过对单项式、多项式的学习为后继整式加减的学习打下基础.

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答，掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在.

1.根据数学的概念进行分类

学习三角形的外心知识时，要根据三角形的形状分类讨论三角形外心与三角形的位置关系：锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边的中点处；钝角三角形外心在三角形的外部.这些分类要通过学生亲自尺规作图来感受，让学生自主形成良好的分类意识.

在直线和圆的位置关系的学习中，我们是根据直线与圆的公共点的个数来进行分类的：当直线与圆没有交点时叫做直线与圆相离；当直线与圆有且只有一个公共点时，叫做直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时叫直线与圆相交.

在学习圆周角定理证明时，可根据圆心与圆周角的位置不同分别讨论，如圆周角的一条边经过圆心时，这种情况比较特殊也容易证明，在这种特殊情况下证得结论，即“同弧所对的圆周角是该弧所对圆心角的一半”，再将这种方法迁移到圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部时的证明上，也就是通过作直径达到化繁为简、化难为易的目的.这也是分类思想在定理证明中的重要体现.

三、 引导分类讨论，提高合理解题的能力

近年来中考命题最后一个压轴题综合性较强，尤其第三个问题一般都是开放式的，内容涉及二次函数、解直角三角形、圆、一元二次方程、三角形的相似等重要知识.因此教学中要让学生认识到分类的重要意义，让学生学会将一些综合复杂的问题进行正确的分类，提炼出清晰的解题思路.

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是在代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现的不同位置的情况，逐一讨论解决问题.

五、分类讨论要注意的问题

1.熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合.

2.讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上.

3.图形的对应关系多涉及三角形的全等或相似問题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.

4.代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍.

5.考查点的取值情况或范围.这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应注意性质、定理的使用条件及范围.

6.函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点.

7.由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后（比如从一条线段移动到另一条线段），所写的函数式应该进行分段讨论.

实践证明，在现有教材的教学中着力渗透分类的数学思想，帮助学生掌握正确分类的思想方法，并结合其他数学思想方法，就能启发学生的探究性思维，提高学生的数学素养，培养学生浓厚的数学学习兴趣

（责任编辑 金 铃）