试论理解取向的数学教学及其设计

徐兆洋

一、数学教学的两种取向

在教育实践中，数学教学有两种基本的取向。其一，传递取向。传递取向认为，教学是传递知识并发展学生智能的过程。课堂教学中，教师的主要任务是传递知识，学生的任务是接受并主动地内化知识，知识的多少反映了学生的学习能力和发展水平，好的教学意味着比较有效地传递。其二，理解取向。理解取向认为，教学是不断增长学生的实践能力和社会化的过程。课堂教学中，教师不直接向学生传授知识，而是创造学习环境，学生在自主探究、合作与交流的活动中，通过知识的建构和意义的赋予，理解知识的意义，进而理解世界的意义，发展和丰富个体的意义世界。

无论是传递取向还是理解取向的教学，知识都是教学的基本内容。但是，如何进行知识教学？知识教学的意义何在？两种取向的教学遵循着不同的理念和实践。传递取向的教学认为知识是可以传递并为个人所拥有的物品，教学立足于知识的传递和掌握：知识是教学的起点，也是教学的终点，是学生学习和理解的对象。教师传递知识的方法主要是讲授，学生掌握知识的方法主要是记忆和练习。讲解和练习是传递取向教学的基本特征，无论是“精讲多练”、“精讲精练”还是“变式练习”，改进教学方法的目的都是为了更有效地传递和掌握知识。传递取向的教学认为，知识是智力发展的基础，知识教学的意义在于发展学生的心智技能。通过知识的传递和掌握，学生的计算能力、推理能力、逻辑思维能力等心智技能可以得到发展和提升。

理解取向的教学认为知识作为人类理解世界的结果，是世界意义的表征，教学立足于知识的建构和意义的赋予：教与学的起点不是知识而是来自于现实世界的、对学生来说没有现成的程序可以解决的问题，问题解决的过程就是建构知识和理解知识意义的过程。学生只有在解决问题的活动中，才能不断建构知识运用于其中的世界，并深化对知识意义的理解。如果学生单凭记忆掌握了知识，而没有理解知识的意义，那么这样的知识对学生来说仍然是没有意义的，既不能用来解决问题，也不能带来理智上的进步。因此，理解取向的教学认为，知识教学的意义在于帮助学生理解和把握现实的世界，培养学生面对复杂情境时所需要的实践性思维、批判性思维、创造性思维，以及问题解决活动中搜索和使用信息、决策的能力等，以便更好地应对社会发展变化的挑战。

二、数学理解取向教学的涵义

数学教学内在地包含理解：创设情境可以建立日常经验与课本知识之间的联系，帮助学生理解数学知识的意义。运用变式可以突出数学概念的本质属性与非本质属性，帮助学生理解概念的内涵。搭建脚手架能够创建符合学生认知发展水平的教学任务，促进学生理解的实现。举例是数学教学中最常用的方法，通过围绕某一主题列举各种典型例题，帮助学生理解有关知识之间的联结，建立比较完善的认知结构。理解取向的数学教学包含三个方面的涵义。

第一，理解性学习（learning with understanding）。理解性学习是数学学习的一种品质。数学学习常常有机械学习的倾向：学生习惯于记忆定义、公式、原理和操作性程序，不去思考知识之间的内在联系和操作性程序运用的原理。其结果是，学生所获得的是孤立的、离散的知识，缺乏生长和迁移能力，不能形成必要的认知策略和智慧技能。理解性学习能够避免机械学习的倾向，促进意义学习的发生。所谓理解性学习，是指学习者主动地参与知识建构、建立新旧知识的联系、以及围绕某一主题进行“弹性实作”——“解释、证实、推断、联系和以一种超越知识与常规技能的方式进行应用”。例如，对于一个定义、公式或法则，如果学习者不仅理解了它的形式和意义，并使之成为已有认知结构的一部分，而且能够利用其进行有效的思维和行动，那么，这样的学习就是理解性学习。也就是说，理解性学习的本质是一种以激发思维参与的活动。无论是建构知识，还是弹性实作，都离不开观察、实验、猜想、验证、抽象、分析、推理、判断等思维的参与。没有思维的积极参与，任何理解都是不可能发生的。在教学实践中，理解性学习提倡个性化的参与和多样化的学习与表征方式。学习者可以根据自身思维方式的特点，选择独立思考、自主探究、协作学习等不同的参与方式；可以操作实物、图形、符号等直观性的表征，也可以运用模型化语言进行抽象的演绎。不同的理解方式之间并不存在优劣之分，只有认知方式和发展水平的差异。另外，理解性学习极为重视课堂中的讨论和交流。因为讨论和交流不仅能促使学习者认识到知识间的关联和重组，而且有助于提高他们的理解性学习。当前，在数学教育领域，“数学学习重在理解”的观念已经获得普遍的认同。

第二，为理解而教（teaching mathematics for understanding）。从广义上说，数学是人类在理解世界的活动中建构并借此表示世界意义的方式。然而，数学的形式化特征遮蔽了数学知识的原初意义，于是，数学教学常常专注于知识的形式运演，忽视对知识意义的理解。学生“掌握”了知识，却不知道知识来自哪里，也不知道知识向何处去。“为知识而教”把丰富的、多样化的理解性活动简化为机械的、形式化的记忆和训练，忽视了知识教学作为发展学生理解世界方法的重要目的。“为理解而教”关注知识意义的生成，致力于引导学生学会对未知世界的探索。事实上，现实世界中大量的情景问题蕴含着丰富的数学背景，是数学知识产生的经验起点，也是学生理解知识意义的源泉。“为理解而教”引导学生在探索现实世界的活动中，经验、理解和反思数学知识的产生过程，获得基本的数学活动经验，为学生理解知识的意义积累丰富的经验基础。在教学实践中，“为理解而教”通过设计综合实践活动、课题学习和数学建模，激发学生参与以“数学化”为特征的理解性活动：对真实任务进行直观性操作，为真实任务建立一个数学模型，用符号、公式等语言准确地描述模型的意义或概念，在抽象的数学表述和直观、具体的事例之间进行适当的转换等等。教师则通过创设丰富的学习环境，帮助学生把经验和事实组织成概念体系，了解学生的理解需要并提供有效的表征及评价方式支持学生的理解。通过设计基于真实世界的理解性活动，“为理解而教”不仅使学生学会如何建构知识，而且理解了知识的意义，从而能够对各种现象做出解释，使客观的世界成为意义的世界。正是在这一意义上，约翰·杜威指出：“只有理解才是真正的学习。”

第三，学会数学地理解（learning to mathematically understanding）。学会数学地理解是理解取向的数学教学的主要目标。所谓数学地理解，或者说数学地思维，就是从数学的角度观察、思考和处理种种现象、问题。数学是理解世界的结果。从数学中最简单的数与形，到现代数学中的许多概念、分支，都是数学家在理解世界的过程中抽象或建立起来的。面对纷繁复杂的现实世界，数学能够用极其简约的概念来描述和刻画社会经济生活中的各种现象、关系和变化，帮助人们更好地理解生活、做出理性的决策。因此，数学地理解已经成为人们应对日常生活的一种基本能力。作为学校教育的一门课程，数学教学承担诸多的任务。但是，与掌握一些具体的知识、技能相比，教会学生数学地理解也许是数学教学更为基本的价值诉求。课程专家泰勒曾经指出，学习一门学科的价值不是体现在“对将来在该学科从事高深研究的学生提供什么样的基础教学”，而是体现在“对哪些不打算成为该学科领域专家的学生的教育能做出什么贡献、对外行或一般公民有何贡献”上。学会数学地理解体现了学校数学所能给予学生的最一般的教育价值，也是衡量学生是否具有数学素养的主要尺标。理解取向的教学把现实世界作为数学教学的平台，引导学生从观察现实生活中的现象开始，让学生经历从现实世界上升到数学世界、从数学世界回归到现实世界的过程，在现实世界与数学世界的交替和反复中，为学生学会数学地理解奠定必要的基础。

三、理解取向的数学教学设计策略

1.选择生成性问题

在理解取向的教学中，学生的理解通常产生于问题，但问题是否具有生成性对于维持并发展学生的理解是至关重要的。所谓生成性问题是指，如果一个问题经过一般化、特殊化、类比、推广等产生一系列新问题，而且，这些新问题能够引导学生的理解持续深入地发展，促进学生的认知水平从低层次向高层次的跃迁，那么这个问题就具有生成性或者说是生成性问题。如，从“如何用正方形地板镶嵌”这样一个习以为常的问题出发，可以生成一系列新问题：从正方形的镶嵌到正多边形的镶嵌问题、从正多边形的镶嵌到一般多边形的镶嵌问题、从一种多边形的镶嵌到两种或三种多边形的镶嵌问题，等等。由生成性问题产生的新问题可以是同一主题下维度上的拓展，也可以是不同主题间形式上的类比，甚至是不同学习领域数学结构之间的转换。一个生成性问题通常包含丰富的内容和技能，能够为学生的理解提供基本的概念框架，使得学生从中学到的不仅是当前情境的体验和理解，还能学到适应环境、处理和深入思考问题的方法。在选择生成性问题时，首先应关注生成性问题的真实性。生成性问题通常应是现实世界中的真实任务，“真实任务通常是日常生活中的活动，具有极大的潜在动机资源。”理解具有情境性，真实任务的情境可以转变为对学生具有自我参照意义的、乐于参与的理解性活动。其次，生成性问题应具有动手操作和思维操作二重性。理解是行动中的认知，动手操作能够帮助学生建立直观性或经验性理解，这对于发展学生，特别是低年级学生的数学理解来说是不可或缺的环节。第三，生成性问题应符合学生的认知发展水平，特别是要能够促进学生当前数学认知水平的发展。有时，由原问题生成的新问题也能引起学生的理解，但却不能提高数学认知的水平，这是在选择生成性问题时需要尽力避免的。值得指出的是，一个有价值的生成性问题应该能够引导学生逐步深入地理解数学课程中的一些核心概念、重要的思想方法、以及基本的数学结构等。因此，在选择生成性问题时，需要思考数学课程中哪些主题值得深入地理解，通过对哪些主题的理解能够更好地把握数学的本质等。如此，才能设计出一个有价值的生成性问题。

2.确定理解性目标

确定理解性目标是理解取向教学设计的重要环节。面对确定的学习主题，教师只有明确“什么是值得学生理解的”，才能设计出一些更有价值的学习活动；学生只有知道“需要理解什么”，才不至于因生成性问题所带来的丰富的学习活动而无所适从。理解性目标是师生在教学活动中有意识追求的对象，是理解取向的教学的价值体现。与“行为目标”不同，理解性目标主要不是用于描述学生的学习结果，而是用来描述学生在特定的数学活动中的行为表现，旨在引导学生“经历”、“体验”和“探索”，获得丰富的数学活动经验。例如，在“翻转茶杯”的主题中，理解性目标可以包含这样几个方面：解释从“翻转茶杯”这一直观性的操作活动中抽象、建立乘法模型的过程；利用乘法模型运演的结果说明“翻转茶杯”问题的答案；通过符号或实物操作验证从模型中推演出的结果的合理性；描述“翻转茶杯”情景中作为知识的乘法意义的拓展和建构过程；等等。在这里，理解性目标主要使用解释、说明、验证、证实、描述、区分、辨别等体现过程性的行为动词。可以说，理解性目标本质上是一种过程性目标、表现性目标。作为一种过程性目标，理解性目标是随着教学过程的展开而自然生成的，是教学情境的产物和问题解决的结果；作为一种表现性目标，理解性目标关注每一个学生在教学情境中所产生的个性化表现，指明学生将在其中作业的情境、学生将要处理的问题以及从事的活动任务。在确定理解性目标时，要把握好目标的层次结构与理解的层次性和认知发展水平之间的关系，使得目标真正成为促进学生理解的“引擎”。在一个真实的任务中，理解或意义建构活动一般经历直观性理解、经验性理解、模型化理解、具体化理解等几个相互关联的阶段，其中，模型化理解是数学理解的本质，理解性目标应是以模型化理解为中心的、包含其他几个具体目标共同构成的层次性目标结构。另外，在确定理解性目标时，必须关注数学的内容、思想方法和特殊的表达形式，使其成为数学课程的核心。

3.设计理解性活动

生成性问题和理解性目标为学生的理解提供了基本的概念框架，但并不意味着学生参与了理解。学生是否参与理解、如何参与理解取决于理解性活动的设计。事实上，作为活动对象的生成性问题或真实任务并不必然保证学生的参与，只有当问题或任务转变为可以操作的活动时，学生的理解行为才可能发生。在理解取向的教学中，学生参与的理解性活动一般包括实物操作、符号操作和形式化运演三种类型。实物操作和符号操作具有一定的直观性，为学生的理解提供丰富的“感觉映像”。形式化运演借助于抽象、类比、归纳、联想等手段建立数学模型，并对模型加以演绎以获得相关的结果。其中，形式化运演是理解的高级阶段，建立在直观性操作活动之上的反省抽象是形式化运演的经验基础。理解取向的教学通过提供具体的、可操作的理解性活动，以确保置身于其中的学生能够相互影响、自觉地思维与行动。首先，在理解取向的教学中，学生的理解不是以某种认知表征来准确地匹配客观知识或事实的过程，而是基于学生个体实践活动的意图、行动和反思的互动。为此，理解性活动的主体指向应从“在头脑中进行认知的个人”转向“在社会和物质情境脉络中参与认知活动的个人”。因为，社会和物质情境脉络为学生创设了特定范围的行为或经验，学生在观察、概念工具的应用以及问题解决的过程中，逐步地形成数学地理解世界的能力。其次，设计的理解性活动应满足学生学习方式多样化的需要。理解其实是一种极具个性化的行为，它不依赖于“普遍的原则”。如果学生要理解复杂观点的意义，只能依靠主体自己的思考和探究。设计理解性活动应考虑到学生在理解方面的个性差异，允许学生选择符合其认知方式和发展水平的参与方式，以便最大限度地促进所有学生在原有认知水平上的提高。再次，建构互动的平台为个体的理解提供“合法的边缘性参与”。理解离不开个人的努力，但是，意义的建构是在社会互动中完成的。互动促成了个人建构的、独有的主观意义的社会认同和进一步发展。当前，以学习者共同体、概念学习交流和知识建构共同体为特征的互动学习方式在提高学习者行为表现方面得到普遍认同。然而，课堂观察表明，课堂中不是没有互动，而是缺少互动的平台，以至于互动只集中于少数学生之间，多数学生被排除在互动之外，成为互动的“旁观者”。显然，在设计理解性活动时，建构互动的平台有助于促进学生参与高质量讨论与共享理解的小组合作。

4.提供表现性评价

评价是教学不可或缺的一部分。对于理解取向的教学来说，评价尤为重要。在不断趋向理解目标的进程中，学生可能会遇到各种各样的疑难或困境。而且，在许多情境下，学生的理解通常并非绝对正确或错误之物，而是介于正确或错误之间的、具有不同程度的连续体。通过对学生在理解活动中的各种行为进行表现性评价，为学生提供及时反馈，引领、拓展和深化当前的理解。例如，指出学生理解活动中存在的问题，可以改进理解行为并使理解精确化，或者，揭示理解结果的适应范围或限制条件，为学生指明进一步理解或努力的方向。也就是说，表现性评价不是理解完成之后的终结行为，而是理解过程的一个基本方面，“是一个进行之中的、嵌入的过程。”就其实质而言，表现性评价为学生的理解提供了一种程序上的和元认知的“脚手架”：通过揭示理解过程中的优势和不足，生成新问题、子目标和子问题，帮助学生不断重组他们的思维，发展多种理解策略和自我调节程序来规划和接近目标。在课堂教学中，表现性评价的一种主要方式是通过提问引导学生把他们当前对问题的理解表现出来。“理解是一种表现，而不是一种心智状态。”为了促进学生的理解，提问应有针对性，但不是就问题本身，而应当在元认知水平上进行，如可以问“你是如何得到这个结论的？”、“你的策略还有需要改进的吗？”，而不是问“你的结论是什么？”等之类的问题。此外，表现性评价应采取灵活多样的方式：直接针对学生个体行为表现给予即时性评价；通过提供包含各种理解材料或“标准的”评定包，引导学生进行自我参照评价；通过设计表现性任务，综合评价学生的理解行为、思维技能、理解的深刻性和创造性；等等。但无论何种方式，评价的目的都是为了改进理解的进程、激励学生的学习。与通常的评价标准不同，表现性评价不仅仅关注一些“共同的标准”，更重视学生在真实的理解情境中的行为和表现，包括独特的见解、错误的观点、误解等。评价的重点从关注理解结果的“对错”转向理解过程中的思维过程分析，把学生当前的理解与他独特的目的或过去的经验，而不是共同的规范或标准相联系。换言之，表现性评价不完全依赖于外部评价，而是把外部标准和基于个体经验的“内部标准”相结合，通过建立理解的“自我参照标准”，从而达到评价促进学生发展的目的。

参考文献

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[6] 陈耀辉等.学习者与教学.香港：香港公开大学出版社，2003.（责任编辑 刘永庆）