几种需要考虑左右极限的函数

贺文杰

摘 要：左右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和难点，可并不是所有函数都是左右极限相等，求有些函数的极限需要考虑其左右极限。本文总结了求极限需考察左、右极限的几种函数。

关键词：极限；左右极限；函数

求函数极限的方法很多，有些函数可直接计算极限。另外，还有些函数需要分别考查两个单侧极限，即左、右极限，然后利用函数极限存在的充分必要条件判断。若左、右极限相等，则函数在该处的极限存在；否则不存在。需考察左、右极限的函数求极限问题是教学的难点，为了便于掌握，将常见题型分析如下：

一、求分段函数在分段点的极限

一般地，若某点的两侧是同一表达式，则可直接计算双侧极限，如果是分段函数的区间分段点，由于分段点的两侧具有不同的表达式，因而左右极限有可能不同，必须考察左、右极限。求分段函数在分段点的极限时，不必考虑函数在分段点的取值情况，只需分析在分段点左右两侧的取值情况即可。

例1：函数f（x）=x+1 x>1x-1 x≤1，问■f（x）在x=1处的极限是否存在。

解：f（x）在x=1处的右极限f（x）=■x+1=2，

f（x）在x=1处的左极■f（x）=■x-1=0，

因为■ f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=1处的极限不存在。

二、求含绝对值的函数的极限

含绝对值的函数在求极限时，一般可先去掉绝对值，改写为分段函数，然后再考察函数在分段点的左、右极限。

例2：考察函数f（x）=■在x=0处的极限。

解：将|x|改写为分段函数|x|=-x，x<1x，x≥0，

所以■f（x）=■■=-1，■f（x）=■■=-1

因为■f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=0处的极限不存在。

三、求取整函数的极限

由[x]≤x<[x]+1或x-1<[x]≤x知，计算整数点的极限时，应先考察其左、右极限。如它们存在且相等，则极限存在；否则极限不存在。

例3：讨论极限■（■-[■]）是否存在。

解：当x>1时，有0<■<1？圯[■]=0，于是有■（■-[■]）=0；当x<1时，有1<[■]<■，由迫敛性得■[■]=1，从而有■（■-[■]）=0；综上所知，极限■（■-[■]）不存在。

四、求当x趋向无穷时含ax（a>0且a≠1）的函数极限，或求当x趋于零时含a■的函数的极限

因为当a>1时，■ax=0或■a■=0，■ax=+∞或■a■=+∞，当0

■ax=+∞或■a■=+∞，

所以■ax或■a■不存在。故需要讨论左右极限。

例4：讨论f（x）=■）在x=0处的极限是否存在。

解：当x→0-时■2■=■2u=0，当x→0+时■2■=■2u=+∞，所以■f（x）=■■=■=-1，■f（x）=■■=■=1，

因此该函数在x=0处的极限不存在。

五、求含arctanx（arccotx）的函数x趋向无穷的极限，或含arctan■（arccot■）的函数x趋于零的极限

这是因为当■arctanx=π/2，当■arctanx=-π/2，故■arctanx不存在。同样■arccotx=π，■arccotx=0，故■arccotx不存在。

同理当x→0+和x→0-时arctan■（arccot■）的极限值不相等，故需讨论左、右极限。

例5：求极限■■的值。

解：因为■■=■=0，■■=■=0，该函数的左右极限存在且相等，故所求极限存在且■■=0。

六、求含偶次方根的函数的极限

由于开偶次方根的结果为非负数，求x→x0或x→∞时的极限，应分x→x0+或x→∞和x→x0-或x→-∞两种情况讨论。

例6：求■x（■-x）

解：因为■x（■-x）=■■

=■■=■，■x（■-x）

=■■=■■=∞，故所求极限不存在。

左、右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和难点，这部分内容概念抽象，题型灵活多样，需要及时总结归纳。只有深刻理解基本概念，掌握好各种题型的解题技巧，才能找到解决问题的切入点和突破口。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1997.

[2]吴良森.数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2003.