数学建模思想在初中数学教学中的应用

何科俊

《义务教育数学课程标准（2011年版）》第7页中先给出了建立数学模型思想的地位：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。接着又给出了建立和求解模型的过程：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。最后指出上述过程的意义：这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。这段文字表述得很出色，但不足之处在于：把数学模型局限在“数与代数”的范围内，没有举出几何模型、概率模型的例子。

1.构建方程模型

例1一张桌子有一张桌面和四条桌腿，做一张桌面要木材0.03m3，做一条桌腿要木材0.002m3。现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？

解析：设共做了x张桌子。

根据做桌面所需木料的体积+做桌腿所需木料的体积 =3.8m3，建立如下方程模型：0.03x+4×0.002x=3.8，求解略。

2.构建不等式（组）模型

例2有10名菜农，每个人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩。已知甲种蔬菜每亩收入0.5万元，乙种蔬菜每亩收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

解析：设安排b名菜农种甲种蔬菜，则安排（10-b）名菜农种乙种蔬菜。

根据甲种蔬菜的收入+乙种蔬菜的收入≥15.6万元，建立如下不等式模型：3×0.5×b+2×0.8×（10-b）≥15.6，求解略。

对于这一类典型的决策型问题，根据学生的认知水平，一般情况都会给出较明确的条件，只需挖掘问题中隐含的数量关系，如本题中的“不低于15.6万元”“最多只能安排多少人种甲种蔬菜”，从而构建不等式模型求解即可。对于实际情形，还存在很多的影响因素，例如：蔬菜在种植过程中的损耗，环境对其生长的影响，自然灾害等。

3.构建函数模型

例3某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

解析：设每台冰箱降价x元时，商场每天销售这种冰箱的利润为y元。

根据降价以后的单件利润×每天的销售数量=每天的总利润，建立如下函数关系式：y=（2400-x-2000）（8+x） ，即y=-x2+24x+3200.求解略。

此类二次函数模型比较常见，一般步骤就是根据题目中的等量关系，列出相应的函数关系式，再利用二次函数的性质来求解。如果得到的函数关系式是一次函数或反比例函数，通常可以判断或直接给出自变量的取值范围，再求函数的最值。

4.构建简单的几何模型

中学阶段常涉及一定图形属性的应用问题，如航行、三角测量、边角废料加工、工程定位、拱桥计算等应用问题。常需要建立相应的几何模型，应用几何知识转化为几何或三角形问题求解。

例4足球赛中，一球员带球沿直线逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利。

解析：这是几何定位问题，画出示意图，如图所示，根据几何知识，起脚射门的最佳位置P应是直线l上对AB张角量大的点时进球可能性最大。问题转化为在直线l上求一点P，使∠APB最大。由平面几何知识知，过A，B两点作圆与直线l相切，切点P即为所求。当直线l垂直于线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利。可见，足球运动员也需要有一定的数学知识。

除了构建以上的几何模型外，直线上一点到同侧的两个定点的距离之和最小可以构建三边关系模型；测量问题，可以建立解三角形模型；在复杂的几何计算或证明中，有时还可以选择构建全等三角形模型、相似三角形模型、构造圆的模型等。

5.建立概率统计模型

例5在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个。现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）。游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球。若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢。这个游戏规则对双方公平吗？

解析：利用列树状图如下，

由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种。

P（小明赢）==，P（小亮赢）==.

∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大。

中学阶段所研究的概率模型与实际模型相比是建模的初级阶段，目的在于培养中学生的应用意识和初步掌握用数学模型来解决实际问题的方法。在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛。而数学建模思想的应用在统计学方面的研究得到很好的体现。

我们应密切关注现实生活，密切结合课本，改变原题，将知识重新分解组合、综合拓广，使之成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息的问题，这对培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、广阔性、创造性是大有益处的。