数列·通项与求和

2013-04-29 00:44
高中生学习·高三理综版 2013年8期
关键词:弦长喷雾器药水

一、选择题(每小题4分,共40分,每小题只有一个选项符合题意)

1. 设[Sn]为等比数列[{an}]的前[n]项和,[2a3+a4=0],则[S3a1]等于( )

A. [2] B. [3] C. [4] D. [5]

2. 数列[112,314,518,7116,…]的前[n]项和为( )

A.[n2+1-12n] B.[2n2-n-1-12n]

C.[n2+1-12n-1] D.[n2-n+1-12n]

3. 数列[{an}]的通项公式是[an=1n+n+1],若前[n]项和为[10],则项数[n]为( )

A. 120 B. 99 C. 11 D. 121

4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的[17]是较小的两份之和,则最小的[1]份为( )

A. [53] B. [116]

C. [56] D. [103]

5. [1-4+9-16+…+(-1)n+1n2]等于( )

A. [n(n+1)2] B. [-n(n+1)2]

C. [(-1)n+1?n(n+1)2] D. 不能确定

6. 数列[{an}]的前[n]项和为[Sn=n2+n+1,][bn=][(-1)nan(n∈N*)],则数列[{bn}]的前[50]项的和为( )

A. [49] B. [50] C. [99] D. [100]

7. 在数列[an]中,[a1=2,a2=3],[an+2]等于[anan+1(n∈N*)]的个位数,则[a2014]的值是( )

A. [8] B. [6] C. [4] D. [2]

8. 已知函数[f(x)=x2+2bx]的图象在点[A(0,f(0))]处的切线[l]与直线[x-y+3=0]平行,若数列[1f(n)]的前[n]项和为[Sn],则[S2014]的值为( )

A. [20142013] B. [20132014]

C. [20152014] D. [20142015]

9. 在圆[x2+y2=5x]内,过点[P(52,32)]有[n]条长度成等差数列的弦,最小弦长为数列的首项[a1],最大弦长为[an],若公差[d∈213,25],那么[n]的取值集合内所有元素平方和为( )

A. 126 B. 86 C. 77 D. 50

10. 设等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn,]且满足[S15>0,S16<0],则[S1a1,S2a2,…,S15a15]中最大的项为( )

A. [S6a6] B. [S7a7] C. [S9a9] D. [S8a8]

二、填空题(每小题4分,共16分)

11. 在数列[an]中,[an=(n+1)(78)n],则数列[an]中的最大项是第 项.

12.已知等比数列[an]中,[a2=06(2x-32)dx],[a3=243],若数列[bn]满足[bn=log3an],则数列[1bnbn+1]的前[n]项和[Sn=] .

13. 设数列[an]满足[an+1=3an+2n],([n∈N*]),且[a1=1],则数列[an]的通项公式为 .

14. 对于实数[x],将满足“[0≤y<1]且[x-y]为整数”的实数[y]称为实数[x]的小数部分,用符号[]表示. 对于实数[a],无穷数列[an]满足如下条件:①[a1=];②[an+1= <1an> (an≠0),0 (an=0).]

(1)若[a=2]时,数列[an]通项公式为 ;

(2)当[a>13]时,对任意[n∈N*]都有[an=a],则[a]的值为 .

三、解答题(共4小题,44分)

15. (10分)在数列[an]中,[a1=1,a1+2a2+3a3+][…+nan=n+12an+1(n∈N*).]

(1)求数列[an]的通项[an];

(2)若存在[n∈N*],使得[an≤(n+1)λ]成立,求实数[λ]的最小值.

16. (10分)已知数列[an]是等差数列,[bn]是等比数列,且[a1=b1=2],[b4=54],[a1+a2+a3=][b2+b3].

(1)求数列[an]和[bn]的通项公式;

(2)数列[cn]满足[cn=anbn],求数列[cn]的前[n]项和[Sn].

17. (12分)甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在[A,B]两个喷雾器中分别配制成[12%]和[6%]的药水各[10]千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为[1]千克的药瓶,他们从[A,B]中分别取[1]千克的药水,将[A]中取得的倒入[B]中,[B]中取得的倒入[A]中,这样操作进行了[n]次后,[A]喷雾器中药水的浓度为[an%],[B]喷雾器中药水的浓度为[bn%].

(1)证明:[an+bn]是一个常数;

(2)求[an]与[an-1]的关系式;

(3)求[an]的表达式.

18. (12分)已知数列[an]的前[n]项和[Sn=-an-(12)n-1+2]([n]为正整数).

(1)令[bn=2nan],求证:数列[bn]是等差数列,并求数列[an]的通项公式;

(2)令[cn=n+1nan,Tn=c1+c2+…+cn],试比较[Tn]与[5n2n+1]的大小,并予以证明.

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