例谈三角问题的突破技巧

贾海军

在高中求解一些三角问题时，学生会觉得繁、难，教师应教学生学会避免繁、难、易错的解题思路与方法，用转化后的巧妙方法快速有效地解决问题.本文就以三角问题为例来说明用构造法解三角题的方法与技巧，以供学习者参考.

一、构造向量

例1：求参数a的范围，使得方程cosx+asinx=2（a≠0）在[0，■]上有解.

分析：设u=cosxv=sinx（它表示一个单位圆），则原方程可化为v=-■+■（它表示过点（2，0）的直线系），如图1，原方程有解等价于直线v=-■+■与■圆弧AP有交点，即斜率-■应满足-■≤-■≤0，于是a≥■.

小结：选用常规方法不可避免地要进行分类讨论，显然较繁，而利用单位圆求解，则完全避免了对参数a的分类讨论.

例2：证明两角和的余弦公式C■：cos（α+β）=cosα+cosβ-sinαsinβ.

分析：设■、■是角α、β终边上的单位向量，■是角-β终边上的单位向量，则A、B′坐标分别为A（cosα，sinα），B′（cos（-β），sin（-β）），所以cos（α+β）=■=cosα·cos（-β）+sinα·sin（-β），即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ成立.

小结：构造向量巧妙证明此公式，显然比课本的证明方法简单多了，将向量与单位圆结合起来，达到了简洁明了的效果.

二、构造单位圆

例3：计算cos10°-cos50°-cos70°

分析：由cos10°-cos50°-cos70°=cos10°+cos130°+cos250°，联想到单位圆上的点A（cos10°，sin10°），B（cos130°，sin130°），C（cos250°，sin250°），易知△ABC是正三角形且中心在坐标原点.由重心坐标公式得

■（cos10°+cos130°+cos250°）=0，故cos10°-cos50°-cos70°=0.

小結：把原式进行转化，联想到单位圆上的三点，进而用三角形的重心坐标公式求解，很巧妙.

三、构造几何模型

例4：在△ABC中，如果a=10，c-b=6，求证：■=■.

分析：由a=10，c-b=6，由双曲线定义知，动点A在以B（-5，0），C（5，0）为焦点的双曲线■-■=1的右支上，由双曲线的性质得：

|AB|=■x+3，|AC|=■x-3，故

■=■·■=■·■=■·■=■=■.

小结：本题虽然可以通过综合运用三角公式来证明，但构造双曲线方程，利用解析法证明更富想象力，更直观、明了.

四、构造对偶式

例5：化简sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°

分析：构造对偶式，设M=sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°，

N=cos■35°+cos■85°-cos35°cos85°.

则M+N=2-cos50°；N-M=cos70°+cos170°-cos120°=cos（120°-50°）+cos（120°+50°）+■=-cos50°+■.

所以2M=2-cos50°+cos50°-■=■，

即M=■，故sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°=■.

小结：在求解或证明一些三角问题时，如果能灵活运用对偶的数学思想，注意到问题的结构特征，巧妙地构建出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的运算，问题就可以巧妙地得以解决.

五、构造斜率

例6：求函数y=■的最值.

分析：设点A（cos■x-sinx，sin■x+sinx），B（3，-1），则y表示AB两点连线的斜率.点A的轨迹方程是x=cos■x-sinxy=sin■x+sinx，即x+y=1（-1≤x≤■），故点A的轨迹为线段MN：x+y=1（-1≤x≤■），其中M（-1，2），N（■，■）如图2所示，因为k■=-■，k■=-■，所以-■≤y≤-■.

例7：化简■

分析：设A（cos20°，sin20°），B（cos40°，sin40°），则原式的几何意义是单位圆上的两点A、B连线的斜率，如图3，故原式=K■=tan∠BCD=tan（40°+80°）=-■.

小结：利用斜率求解分式三角函数问题，解法直观、简便，对创新思考问题，开阔解题思路，提高解题能力十分有益.

六、构造参数

例8：设n∈N■，且sinα+cosα=-1，求sin■α+cos■α的值.

分析：设sinα=-■-t，cosα=-■+t，由（-■-t）■+（-■+t）■=1，解得：t=±■，当t=■时，sinα=-1，cosα=0；当t=-■时，sinα=0，cosα=-1，故sin■α+cos■α=（-1）■.

例9：已知△ABC三个内角满足A+C=2B，■+■=■，求cos■的值.

分析：由题设知B=■，cosB=■，可设A=■+α，C=■-α（-■<α<■）.则由条件易得■+■=-2■，进一步通分化简得2■cos■α+cosα-■=0，解得cosα=■或cosα=-■（舍去）.故cos■=cosα=■.

小结：构造新的“量”—参数，可以把原来较复杂的数学问题转化为较简单的或更常规的数学问题来求解，更简便.

七、构造函数

例10：已知函数f（x）=sinxcosx+■+3，若f（lga）=4，则f（lg■）的值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：直接求解显然不可取，构造新函数

g（x）=sinxcosx+■，显然g（x）是奇函数，

则f（x）=g（x）+3，所以f（-x）=-g（x）+3，所以f（x）+f（-x）=6，则f（lga）+f（-lga）=6，又因为f（lga）=4，所以f（lg■）=2.

例11：已知x，y∈[-■，■]，a∈R，且x■+sinx-2a=04y■+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.

分析：若用三角公式则不易求解，观察题设的两个等式可得：x■+sinx=（-2y）■+sin（-2y），此式有相同的结构，于是可引入函数：f（t）=t■+sint，t∈[-■，■]，则有f（x）=f（-2y）.因为当时t∈[-■，■]时，f（t）=t■+sint是增函数，所以有x=-2y，故cos（x+2y）=cos0=1.

小结：构造函数，整体思考，这是整体观念与构造思维的一种应用，整体处理可使问题简单化.

八、构造直线

例12：求证：（cosα-■）■+（sinα-■）■≥9.

分析：这是一道三角证明题，如果滥用公式有一定的运算量，不如回过头来，认真分析一下题目，发现只要证明■≥3，问题就会不攻自破.构造直线：xcosα+ysinα-1=0，因为点M（cosα，sinα）在直线xcosα+ysinα-1=0上，而点P（■，■）不在此直线上，所以点P（■，■）到点M（cosα，sinα）的距离不小于它到此直线的距离3，即■≥3成立，故（cosα-■）■+（sinα-■）■≥9.

小结：巧妙构造直线证明三角不等式，避免了繁琐的运算，这是一种行之有效的解题方法.

九、构造方程

例13：已知α、β为两相异锐角，且满足方程acos2x+bsin2x=c，求证：cos■（α-β）=■.

分析：由题设知，点A（cos2α，sin2α）和点B（cos2β，sin2β）所在的直线方程是ax+by-c=0.（1）.

而经过A、B两点的直线方程还可以表示为：

■=■，

即xcos（α+β）+ysin（α+β）-cos（α-β）=0.（2）

由于（1）、（2）表示同一条直线，因而原点到两直线的距离相等.

所以■=■，即cos■（α-β）=■.

小结：数学题目的特点是形式多变，思路纵横，解法繁简迥异.本题通过適当构造方程，弃繁就简，找到了一条解决问题的捷径.