概率统计在解决实际问题中的应用

郭林涛

摘 要：概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法。随着科学技术的发展，概率统计知识越来越受到人们的重视，它被广泛应用到工农业生产、国民经济以及我们日常生活中。本文主要围绕贝努里概型，正态分布，数学期望的有关知识，探讨概率统计在解决实际问题中的应用。

关键词：贝努里概型 正态分布 数学期望

中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）03（c）-0249-01

概率统计作为一门数学分支，它与我们的生活有着千丝万缕的联系。人们通过观察随机现象研究其统计规律把握事物本质，从而将概率统计思想用于实践指导我们行动。下面是有关概率统计知识的实际应用问题。

1 贝努里概型在保险业中的应用

在现实生活中我们经常会接触到社会保险，出于对自身利益的考虑，有些人可能会问：保险公司和投保人谁是最大受益者呢？如果你了解概率统计知识，不防自己算一下。

例：假设有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了某一保险公司的人寿保险。在1月1日这一天，每个参加保险的人支付120元保险费给公司，那么其死亡时，家属就可以从公司里领取20000元保险金。设在一年里每个人死亡的概率为0.002，问：“保险公司亏本”的概率是多少？

分析：假设“一个人在一年内死亡与否”为一次试验，则有2500人参加了这一保险，于是以上问题就转化为一个2500重的贝努里概型，同时，若将每人在一年内死亡的概率假定为P=0.002。设参加保险的人每年的死亡记录为X，则：

设“保险公司亏本”为事件A，x为死亡人数，则公司应支出20000x（元），而公司的总收入为2500×120（元）。我们知道，如果公司的支出大于其总收入，即则公司亏本。

现在解这一不等式，不难得出x>15

于是

由此得出保险公司“受益匪浅”，基本上不会亏本。

2 正态分布在选择出行路线上的应用

正态分布有着极其广泛的实际背景，它普遍存在于数学、物理、医学及工程等领域，所以实际问题中很多随机变量的概率分布都服从正态分布。比如物理学中测量同一物体的随机误差；医学中红细胞数、血红蛋白量等；教育统计中，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等；在生产条件一定的情况下，产品的强力、口径、长度等指标都近似地呈正态分布。下面是正态分布在选择出行路线上的一个具体应用。

例：某人从北京某地乘车前往北京站搭车，可供选择的路线有兩条：（1）乘坐市内公交车。优点：路程较短；缺点：交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布。（2）乘坐地铁。优点：交通阻塞少；缺点：路线较长，所需时间服从正态分布。

问题：若可用时间为68分钟，应选择哪条路线？若可用时间为62分钟，应选择哪条路线？

为了能及时赶到车站，按原计划出行，此人运用正态分布知识提前作了以下分析：

如果实际问题满足给定的标准正态分布，设，通过标准正态分布表，已知可求，同样已知可求；但如果问题是非标准正态分布（如上例），则通过∶N（1，0），可把非标准正态分布转化为标准正态分布。这里将走第一条路线及时赶的时间设为分钟，走第二条路线及时赶到的时间设为分钟。

（1）68分钟内第一条路线及时赶到的概率为：

；

第二条路线及时赶到的概率为：

所以应走第二条路线。

（2）62分钟内第一条路线及时赶到的概率为：

第二条路线及时赶到概率为：

所以应走第一条路线。

生活无形中会涉及到很多概率统计知识，如果我们留心身边的数学知识，会惊奇的发现在这平凡的生活中数学发挥着多么大的作用。

3 数学期望在求解最大利润问题中的应用

数学期望是研究随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征。实际问题中尤其是经济决策中，数学期望为决策者获取最大利润提供了重要的理论依据。下面就是一个应用期望进行经济决策的的问题。

例：某人投资100万元，期限为一年，可供选择的投资方案有两种：一是购买股票；二是存入银行获取利息。如果买股票，经济形势好可获利40万元，形势中等可获利10万元，形势不好损失20万元。如果存入银行，假设利率为7.6%，可得利息76000元。已知经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%，试问哪一种投资方案可使投资者的收益较大？

分析：从问题的已知条件可知，当经济形势好和中等时，购买股票是收益较大；但如果经济形势不好，那么采取存银行的方案收益较大。由于我们无法预料经济形势，因此需要比较两种投资方案获利的期望大小。

先来计算购买股票的获利期望E1=40×0.3+10×0.5+（-20）×0.2=13（万元）

再计算存入银行的获利期望是E2=7.6（万元）

因为E1>E2，所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。

可见对于带有一定的随机性的风险投资，正确运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资是比较客观的。

4 结语

作为数学的一个非常重要的分支—— 概率与数理统计，在知识产业化的今天也正在或将要发挥它应有的作用，而且在很多领域已经取得了突破性的发展。因此，将概率统计知识应用于学习、工作及日常生活中，能够帮助我们获得可靠性的结论。

参考文献

[1]魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京：高级教育出版社，2004.

[2]程靖.概率统计教学方法的几点体会[J].巢湖学院学报，2012（3）.

[3]韩伟.概率统计教学研究[J].赤峰学院学报：自然科学版，2012（6）.