基于概率分布模型的暴雨研究

周其龙　梁洪运　刘敏　姚晓超

摘 要：暴雨作为黄河中下游地区主要的气象灾害，每年都对经济社会产生重要的影响。本文在全面的文献调查基础下选取黄河中下游四个代表雨量站：郑州，西安，延安和太原的1960年至2010年每年5月到9月的逐日降水资料，运用泊松概率分布模式揭示该区域的暴雨统计特征。通过研究我们得出了一个结论，泊松分布模型能较好地反映该地区暴雨的概率特征。在此基础上我们预测出雨量站一年内发生N次暴雨的概率。研究结果在气象统计和暴雨预报方面有重要的意义。

关键词：暴雨 概率分布 泊松分布 气象统计 黄河中下游

中图分类号：P458.121.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）03（c）-0001-03

在我们的日常生活中，我们经常听到一些关于暴雨的报道，尤其是在雨季这样的报道就更加频繁。如“当地气象中心称，暴雨将持续到星期日晚上，超过80 mm的降水将在24小时内落下，暴雨损坏了106749英亩的作物，其中16803被完全摧毁，新华社报道”。我们知道黄河中下游地区是我国一个重要的经济区域，但是截止到目前累计有21000000亩土地被淹没过，受影响的有53000000亩土地，11000000亩作物被毁壞和超过5800000间房屋被摧毁。因此十分有必要加强该区域的暴雨预报研究工作。暴雨成灾不仅在于其雨量集中性的危害，而且其频发程度也是产生灾害的重要原因之一。不少学者已经注意到暴雨规律性的探讨[1～4]，但运用概率分布理论来研究暴雨规律的却不多见。概率分布理论是一切概率统计学方法最重要的理论基础，全面描述变量的随机性可用某种概率分布模式。如气象极值的渐进分布形态，四参数Kappa分布，三参数Weibull分布，Tippit型及Gumbel分布等概率模式[5～8]。研究重点是，用观测得到的样本去拟合某种概率分布模型并估计其参数。

黄河中下游地区暴雨主要集中在每年的5～9月这153天的时间里[9]。在此期间每天发生暴雨的概率很低，而总天数（153天）较大，可见暴雨为稀有事件，所以其概率分布可用Poisson分布来拟合。本文采用Poisson分布模式来研究黄河中下游若干站点近50年暴雨概率分布特征，暴雨频数分布规律。同时还用建立的模式计算得到各地每年发生n次以上暴雨的概率，为各地暴雨预报提供参考。

1 资料与方法

1.1 资料

气象统计中规定，日降雨量≥50 mm为暴雨日[10]。数据来源与中国气象局中国地面国际交换站。选取黄河中下游若干站点历年暴雨季（5～9月）逐日降水量资料，统计近50年（1961年至2010年）暴雨（日降雨量≥50 mm）日数及其发生频率。所选各测站站名如表1所示。

1.2 方法

1.2.1 泊松分布

泊松分布是1837年由法国数学家泊松（PoissonS.D.1781-1840）首次提出的。泊松分布在各领域的研究相当广泛，是一种经典的描述稀有事件频率分布的概率模式。

泊松分布可以看作二项分布的极限分布。当n很大时，p很小时，可以用泊松分布来计算二项分布。参数是单位时间（或单位面积，体积）内随机事件的平均发生率.即

（1）

服从泊松分布的随机变量X的概率分布为：

（2）

该分布仅有一个参数（恒为正）。

递推公式为：

（3）

可由（3）式得一年中（5～9月）发生k次暴雨的概率P。那么，50年中应有50×P年发生k次暴雨，进而可得50年间每年发生k次暴雨的理论年数。结合各站值和公式（1）则可建立使用黄河中下游的暴雨Poisson分布模型。

根据给出的模型，可以算出各地每年发生n次以上暴雨的概率。

每年发生n次以上暴雨的概率为：

（4）

1.2.2 暴雨分布概率模式研究

选用4个代表雨量站50年（1961年至2010年）逐日降水资料，计算一年中暴雨季（5～9月），每天发生暴雨的概率（表2）。

由表可以看出，郑州历年（5～9月）共发生了94次暴雨，延安历年（5～9月）共发生了38次暴雨，西安历年（5～9月）共发生了34次暴雨，太原历年（5～9月）共发生了116次暴雨，且他们每年中（暴雨季）每天发生暴雨的概率分别为0.0122，0.0050，0.0032，0.0152。

以郑州为例，研究模式拟合问题。

由表2知，郑州（1951年至2000）50年中（5～9月）共发生了94次暴雨。每年5～9月有153天，在此期间每天发生暴雨的概率为 0.0122.此概率值甚小，而总天数153天较大，可见暴雨是稀有事件。所以，其概率分布可用Poisson分布来拟合。

为求郑州每年（5～9月）发生k次暴雨的概率，先计算分布参数，然后再按照递推公式（3）可以求得一年中郑州发生k次暴雨的概率。易得一年中郑州发生k次暴雨的理论年数。

根据中国地面国际交换站提供数据可以查询各站点每年（暴雨季）发生k次暴雨的实际观测数据（表5）。

各站点Poisson分布的概率模式的理论年数与实测年数的直方图比较如图1，2，3，4所示。

2 检验与分析

2.1 方法

2.1.1 相关系数

定义：设是一个二维随机变量，则称：

为X与Y的相关系数。

是同符号的，即同为正，或同为负，或同为零。这说明，从相关系数的取值可以反映出X与Y的正相关，负相关和不相关。

2.1.2 分析

由表6可以看出郑州，西安，延安，太原四个站点实测频数与理论频数的相关系数分别为0.926，0.993，0.994，0.928。由此可见郑州，西安，延安，太原暴雨季（5～9月）暴雨日数符合Poisson分布模式。即Poisson分布模式能较好地描述上述站点的暴雨概率分布。

检验结果已表明郑州，西安，延安，太原暴雨概率分布能服从Poisson分布，那么根据表3给出的模式和参数，和公式（5）可以计算出各地每年暴雨季暴雨发生n次以上暴雨的概率（表7）。

3 结论

用Poisson分布理论描述黄河中下游若干站点（西安，延安，郑州，太原）暴雨季暴雨分布符合情况较好。同时用建立的Poisson理论模式，求得各地每年暴雨季中发生n次以上暴雨的概率，可为各地暴雨预报提供参考。尽管本文选取的站点有限，但根据降雨的區域连续性可以推测出相近或相邻区域的暴雨情况。本文只能在概率层面上预测出暴雨发生的次数，未能具体到发生暴雨的具体时间或时间段，这也为以后得继续研究指明了方向。

参考文献

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