算术漫谈算术漫谈

何鸿猷

【摘要】以异因合数为分母的真分数，化为循环小数，循环节的位数为其中各因数循环节位数的最小公倍数.以n位全1数为分母的真分数，化为循环小数j=n；若为合数，则n是各因数循环节位数的最小公倍数.《n》中至少有一个或多个质数j=n.欲求j=10（位）的质数，就去分解《10》.

【关键词】全9数；全1数；剩余数

一道算题，重视它的答案正确与否，永远没错，但如果对它的浑身上下细致加以剖析，将会发现它和其他数学问题有着千丝万缕的联系，从中可以丰富我们的数学知识.活题就从17化为小数开始吧：17≈0.1429（四舍五入）.17=0.1·42857·（化为纯循环小数），或1÷7=0.142857……0.000001（有余数除法），7除尽了1-0.000001=0.999999. 0.999999×1000000=999999，999999÷7=142857，7是质数，循环节是六位，为偶数位循环，7能整除6位全9数，（为叙述方便，下面特称各位都是9的数为n位全9数，大于1位各位都是1的数为n位全1数.为书写方便，特引入记号《n》，表示n位全1数，设j代表循环节位数5个字；n表示循环节位数，即j=n，【某数的循环节】是指以某数为分母的真分数、化为循环小数、循环节的位数的简语.以下同）从而可以导出凡6位数码相同的数，均能被7整除.三组两位两位数码相同的数，如：111111÷11×36=363636，以及前三位与后三位数码相同的数，如：111111÷111×437=437437，也均能被7整除.113=0.0·76923·，j=6，所以上述各数也均能被13整除.

141=0.0·2439·.j=5，是奇位循环，99999÷41=2439.41能整除5位全9数，也能整除5位数码都相同的数.

设p为除2，5以外的所有质数.设1p化为循环小数j=n，则n位全9数，n位全1数等均能被p整除.当n为偶数时，前n2位与后n2位完全相同的数也均能被p整除.这些能被p整除的数，都可以为我们所用，如：判断33743能否被41整除？因141=0.0·2439·，j=5，33333能被41整除.33743-33333=410，410能被41整除，則33743也能被41整除.再如：123448能否被13整除？因113=0.0·76923·，j=6，为偶数位循环，所以123448-123123=448-123=325，325÷13=25，123448能被13整除.

17=0.1·42857·，27=0.2·85714·=0.1·42857·×2，37=0.4·28571·=1·42857·×3……

999999不仅能被7和13整除，它还能被9和142857整除，观察这些数字的关系，可悟出循环小数化为分数的方法，142857÷142857999999÷142857 =17，285714÷142857999999÷142857 =27，428571÷142857999999÷142857=37……或：999999÷7=142857，142857999999=17.方法是：循环小数的数值为分子，循环小数是几位，再以几位全9数为分母，然后化简.将0.27化为分数，2799=311.

上面悟出了纯循环小数化为分数的方法，下面还可以从144=0.0227悟出混循环小数化为分数的方法：1÷44=0.0227……0.0012，44除尽了1-0.0012=0.9988，9988÷44=227.再看，0.022·7·，两位不循环，两位循环，而9900能保证被44整除（44=11×4，判断某数能否被4整除，只要末两位能被4整除，该数就能被4整除.判断某数能否被11整除，由低位到高位两位两位分节，各节之和能被11整除，该数就能被11整除），9900÷44=225，227-225=2，但9988-9900=88，88÷44=2，227-225=2，所以227-29900=2259900=144.

混循环小数化为分数的方法是：分子为混循环小数的数值，减去不循环部分的数值.分母为循环部分是几位就先写几个9，不循环部分是几位再在9的后面寫几个0，然后化简.

附课本上的推导方法：（各介绍两种推导方法）

一、由0.0·27·推导纯循环小数化分数的方法设分数为1x，1x=0.0·27·，1x=0.027……11000，1=0.027x+11000，1-0.001=0.999，x= 0.9990.027，将x值代入所设分数，10.9990.027 =0.0270.999=27999=137.

二、由13=0.3·推导纯循环小数化分数的方法

13=0.3·，13=0.33333……，0.33333……=310+3100+31000……

整十整百相乘，在1的后面写上因数0的和数就可以了，如：100×1000=100000.1后面0的个数又与循环小数的位数是一致的，10是第一位，10×10=100就是第二位，第一位的余数自乘3×3=9，9÷7=1……2正是第二位的余数，第二位自乘，即100×100=10000等于第四位，第二位的余数自乘，即2×2=4也正是第四位的余数，这都不是偶然的，而是有规律的，用语言叙述出来就是：因数的余数积等于积的余数.

再看10+100=110，110÷7=15……5，第一位的余数加第二位的余数即3+2=5正好是110的余数，这也不是偶然的，也是有规律的，用语言叙述出来就是：加数的余数和等于和的余数.

因数的余数积等于积的余数

加数的余数和等于和的余数

这就是著名的中国余数定理.

9999999……÷p，3333333……÷p， 11111111……÷p，除至某位除尽，循环节就是多少位.1p ，j=n，如果n是几十位几百位以上，上述方法就不太适用了.如果利用余数定理，几千位的循环节位数也能准确地求出来.（是循环节位数不是循环小数数值）循环节分为常循环节、一般循环节、短循环节，p-1是常循环节，我们所要求的是短循环节，如：137=0.027，j=3.3位是短循环节，37-1=36，36位是常循环节，6，9，12，18等位是一般循环节，一般循环节既是常循环节的因数，又是短循环节的倍数.15，21虽是3的倍数，但它不是36的因数，所以不是一般循环节.有的质数如131，j=15，有常循环节和短循环节，而沒有一般循环节.有的质数如17，常循环节等于短循环节.总之我们要求的循环节它是p-1的一个因数.（p是质数，循环节均能整除p-1，凡循环节不能整除分母减1的，分母一定是合数.凡常循环节等于短循环节的它一定是质数.）