解高中数学填空题的常用方法

葛丹

江苏高考数学必做題部分由填空题和解答题两种题型组成，其中填空必做题14道70分.它具有题小、量大、灵活多样、结构简单、知识覆盖面宽、概念性强、运算量不大、不需要解题过程、能力要求较高等特点，考查的是基础知识、基本技能和基本思想方法理解掌握的熟练程度.数学填空题只要写出正确结果，不要求写出解答过程，给考生提供了自由想象与施展创造才华的广阔空间.填空题又不像选择题有备选项，彻底消除了依靠“蒙”的侥幸心理.切实提高“三基”水平，训练优化思维的各种品质，掌握一些解填空题的常用方法，是攻克填空题的根本.求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.

一、直接法

直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，这是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简洁的解法.

二、特殊化法

在一般情况下成立的结论，在特殊条件下也必然成立，在此原理的指导下，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论，就形成了解填空题的化繁为简、出奇制胜的特殊化法.

例2（2012年高考浙江卷理科15）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=.

解析此题最适合的方法是特例法.

假设△ABC是AB=AC的等腰三角形，

如图，AM=3，BC=10，AB=AC=34，

cos∠BAC=34+34-1002×34=-817，AB·AC=34·34·（-817）=-16.

三、数形结合法

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”， “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，当单纯依赖“数”或“形”很难形成思路，或求解十分烦琐时，就应考虑两者结合，优势互补，往往会使解题取得突破性进展，获得“柳暗花明”之效.

例3（2012年高考天津卷理科14）已知函数y=|x2-1|[]x-1的图像与函数y=kx-2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是.

四、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.有一类“恒成立”问题，若按照常规思路，往往需要烦琐的讨论，若把问题转化为求函数值域或最值的问题，则问题常常就迎刃而解了.这种问题的求解方法就是等价转化法.

例4（2012年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.

解析根据题意，将x2+y2-8x+15=0化成标准形式为（x-4）2+y2=1，得到该圆的圆心为M（4，0），半径为1，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M（4，0）到直线y=kx-2的距离d≤1+1即可，所以有d=|4k-2|k2+1≤2，化简得k（3k-4）≤0，解得0≤k≤43，所以k的最大值是43.