导函数与原函数的图象关系

提问： 函数图象题常常会要求我们判断导函数与原函数的图象关系，那究竟该如何判断呢？图象中是否存在一些特殊的点可以作为判断依据呢？

回答： 在某一区间上，导数值的正负能直接反映出原函数在该区间上是单调递增还是单调递减；而原函数单调递增或单调递减的速度则是由导函数绝对值的大小来决定的.当原函数由慢到快递增或递减时，导函数的绝对值由小变大；当原函数由快到慢递增或递减时，导函数的绝对值由大变小.

下面，我们用一道例题来说明.

[2013年高考数学浙江卷（文科）第8题] 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图1所示，则该函数的图象是

（A） （B） （C） （D）

如图1所示， f′（x）>0在（-1，1）上恒成立，所以原函数y=f（x）在（-1，1）上单调递增.进一步观察，可知导函数y=f′（x）的绝对值在（-1，0）上由小变大，在（0，1）上由大变小，故原函数y=f（x）在（-1，0）上的递增速度由慢到快，在（0，1）上的递增速度由快到慢.

观察四个选项中的函数图象，它们在（-1，1）上都单调递增，故只需考虑这些函数图象递增速度的快慢即可.

选项A在（-1，0）上的递增先快后慢，在（0，1）上的递增先慢后快，不合题意；选项B在（-1，0）上的递增先慢后快，在（0，1）上的递增先快后慢，符合题意；选项C在（-1，1）整个区间上由慢到快递增，不合题意；选项D在（-1，1）整个区间上由快到慢递增，不合题意.故选B.

导函数图象上的确存在一些特殊的点，可以作为判断原函数图象的依据.导函数图象上的正负分界点是原函数图象单调区间的分界点，即原函数的极值点.从左往右看，若导函数图象由上往下穿过x轴，则其正负分界点为原函数的极大值点；若导函数图象由下往上穿过x轴，则其正负分界点为原函数的极小值点.

·长难句，求翻译·

（1） Undoubtedly， our future is in association with an abundance of things， such as outside world factors and a bit of luck occasionally.

（2） Weibo offers a stage where the youth can express their opinions and emotions freely， which helps them relieve the stress from study.

（3） To show their hospitality in interpersonal communication， some customers order far more than what is enough， causing much food to be untouched and thrown away.

·词汇辨析练一练·

（1） My grandfather got used to

at weekends.

A. fish B. fishes

C. fished D. fishing

（2） If you like， at any time.

A. call on B. drop in

C. visit D. pay a visit to

【参考答案】

（1） 不容置疑，我们的未来与很多事物相联系，比如外在世界的因素和一些偶然的运气成分。

（2） 微博为年轻人提供了一个能够自由表达他们的意见和情感的舞台，同时也帮助他们释放学习的压力。

（3） 为了在人际交往中显示热情好客，一些顾客会点过多的菜肴，导致很多食物最终根本没碰过就直接被扔掉了。

【参考答案】

（1） D。句意为“我爷爷习惯周末去钓鱼”。be/get used to doing sth.表示“习惯于做某事”。used to do sth.表示“过去常常做某事”，暗含现在已经不那么做了的意思，所以不能选A。

（2） B。句意为“如果你愿意，什么时候都能来”。call on指礼节性的拜访，访问者与被访问者之间一般是社交或公务关系。visit和pay a visit to强调出于工作需要的访问，也指亲戚朋友间的看望，用在比较正式的语境中。drop in多指计划之外或事先未打招呼的偶然、顺便的拜访。