在函数零点问题中求解参数范围

杨作义 王芳

“根据函数零点的情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题，我们既可以利用零点定理求解，也可以利用数形结合思想求解.

利用零点定理求解参数范围

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上连续且满足f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内至少存在一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.这就是零点定理.

对于在高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数y=f（x）在[a，b]上单调，且在（a，b）上存在一个零点，求参数范围”，可用f（a）·f（b）<0求解.

例1 [2012年高考数学天津卷（理科）第4题改编] 已知函数f（x）=2x+x3-a （a∈R）在区间（0，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是 .

解： 观察可知，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，又f（x）在区间（0，1）上存在一个零点，故f（0）·f（1）<0，整理得（1-a）（3-a）<0，解得1

利用数形结合思想求解参数范围

如果函数F（x）可以转化成两个函数g（x），h（x）之差的形式，那么F（x）的零点问题就可以看作函数g（x），h（x）图象的交点问题，函数F（x）的零点就是函数g（x），h（x）图象交点的横坐标.同样的，方程F（x）=g（x）-h（x）=0的实数根问题，实质也是F（x）的零点问题，也可以看作函数g（x），h（x）图象的交点问题.因此，对于含参函数F（x）=g（x）-h（x），我们可以利用数形结合思想作出g（x），h（x）的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围.

例2 [2011年高考数学北京卷（理科）第13题] 已知函数f（x）=■，x≥2；（x-1）3，x<2.若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是 .

解： 当x≥2时， f（x）=■，此时f（x）在[2，+∞）上单调递减，且0

当x<2时， f（x）=（x-1）3，此时f（x）过点（1，0）与（0，-1），且在（-∞，2）上单调递增.当x→2时， f（x）→1.

如图1所示，作出函数y=f（x）的图象.关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即y=f（x）的图象与直线y=k有两个交点，故当且仅当0

在例2中，根据f（x）的表达式，我们能很容易地确定其单调性、极值等，故可直接作出f（x）的图象，利用数形结合思想解题.在作图时，要注意利用函数的奇偶性、单调性等性质，标出函数的零点、极值、最值等要素，尽量把图象画准确，避免误判.

例3 [2013年高考数学北京卷（文科）第18题第（2）问] 已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx.若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，求实数b的取值范围.

解： f′（x）=2x+xcosx+sinx-sinx=x（2+cosx）.因为2+cosx>0，所以当x>0时， f′（x）>0， f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x<0时， f′（x）<0， f（x）在（-∞，0）上单调递减.当x=0时， f（x）min = f（0）=1.

如图2所示，作出函数f（x）的草图.因为曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，故实数b的取值范围是（1，+∞）.

在例3中，函数f（x）形式复杂，直接作出其图象有困难，因此可以先通过求导研究函数的单调性和极值，作出大致图象，再观察f（x）的图象与直线y=b的图象的交点.通过平移直线y=b确定交点个数，即可求得参数范围.

例4 [2013年高考数学陕西卷（理科）第21题第（2）问] 已知函数f（x）=ex （x>0），讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2 （m>0）公共点的个数.

解： 曲线y=f（x）与曲线y=mx2 （m>0）公共点的个数就是函数h（x）=ex-mx2 （x>0）的零点个数，也即方程ex=mx2 （x>0）的实数根的个数.

整理得m=■ （x>0），令g（x）=■，则g′（x）=■=■.当x∈（0，2）时，g′（x）<0，g（x）在（0，2）上单调递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）>0，g（x）在（2，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（2）=■.又当x→0时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞.

如图3所示，作出g（x）=■ （x>0）的图象与直线y=m （m>0）的图象.当m∈0，■时，直线y=m与曲线g（x）无交点，即曲线y=f（x）与曲线y=mx2 （m>0）无公共点；同理可得，当m=■时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2 （m>0）有1个公共点.当m∈■，+∞时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2 （m>0）有2个公共点.

在例4中，直接根据含参二次函数y=mx2（m>0）与曲线f（x）=ex（x>0）的图象讨论它们的交点个数和参数m的取值之间的关系，比较难判断.由于两曲线的公共点的个数就是函数h（x）=ex-mx2 （x>0）的零点个数，所以可以通过讨论函数h（x）的零点和参数的关系来求得结果.但是求导后算式复杂，零点很难确定，这条路走不通.而函数h（x）=ex-mx2的零点就是方程ex=mx2的实数根，因此我们考虑利用参数分离法，将问题转变为求方程m=■的实数根个数的问题，讨论直线y=m与曲线g（x）=■的交点情况，这样就相对便利了.

【练一练】

（1） 已知函数f（x）=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是

（A） （-∞，1] （B） （-∞，0]∪{1}

（C） （-∞，0）∪（0，1] （D） （-∞，1）

（2） 已知函数f（x）=x3-3x2-9x+3，若函数g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有3个零点，求实数m的取值范围.

【参考答案】

（1） B （当m=0时， f（x）=-2x+1，函数零点为x=■，满足题意. 当m≠0时，若Δ=（-2）2-4m=0，则m=1，由此可得唯一零点x=1，满足题意. 若Δ>0，则函数图象与坐标轴有两个不同的交点.因为f（0）=1，所以x=0不是函数的零点.此时若函数f（x）的图象开口向上，则两个零点必定同为正或同为负，不合题意；只有当f（x）的图象开口向下时，两个零点一正一负，符合题意.因此有Δ=（-2）2-4m>0，m<0.解得m<0.综上可得m∈（-∞，0]∪{1}）

（2） 解： f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），其图象为开口向上的二次图象，零点为x1=-1，x2=3. 结合[-2，5]可得，当x∈[-2，-1）∪（3，5]时， f′（x）>0；当x∈（-1，3）时， f′（x）<0. 所以函数f（x）在[-2，-1）和（3，5]上单调递增，在（-1，3）上单调递减.

故f（x）极小值=f（3）=24， f（x）极大值=f（-1）=8，且 f（-2）=1， f（5）=8.

如图4所示，作出函数f（x）的大致图象，要使函数g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有3个零点，只要使函数f（x）在[-2，5]上的图象与直线y=m有3个交点即可.

由图4可知，当m∈[8，+∞）时，函数f（x）的图象与直线y=m至多有2个交点；当m∈[1，8）时，函数f（x）的图象与直线y=m有3个交点；当m∈（-24，1）时，有2个交点；当m∈（-∞，-24]时，函数f（x）的图象与直线y=m至多有1个交点.故m∈[1，8）.