利用画图表征，促进“倍”的理解

林俊峰 谢玉娓

一、新、旧教材比较与分析

（一）体现了“情境+问题串”的编写体例特点，为教与学导航

新教材基于“情境”，围绕一定目标（引导学生逐步理解倍的意义），按照一定的结构精心设计了一组问题，通过这三个问题指向数学知识、方法、思想等发生发展过程，从而引领学生的学习过程，有效实现学习目标。这正体现了新版教材“情境+问题串”的编写体例特点，这样的编写有利实现启学引思、导学引教。

（二）新增了“学生作品”，更重视合理利用画图表征，促进学生对“倍”意义的理解

1.新增了学生作品，凸显学生主体地位。一是强调通过图形直观，经历把“3只猴子圈在一起看成1份，6只小鸭子就有这样的2份，鸭子数就是猴子数的2倍（6是3的2倍）”的认识过程，即在活动中亲身经历了“倍”的形成过程，同时在这一过程中渗透了画图策略。二是在学生画图的过程中，让教师及时读懂学生的想法与认知困难，及时采取跟进的教学策略。

2.增加了画图表征的分量，强调其重要性。

新版教材增加了画图表征的分量，这样在实物操作与抽象思维之间架起了桥梁，让学生在圈一圈、画一画中初步建立“倍”的表象，并且有利于学生有效表达自己构建的概念表象，与教师、同伴交流，促进概念的初步形成。

（三）沟通“倍”与除法意义的联系，强调旧知对新知学习的正迁移

新教材增加了一幅“对话图”，即笑笑与智慧老人的对话。不仅有利于教师对教学的把握和学生对学习内容的理解，也凸显了编者强调要沟通“倍”与除法意义的联系，重视学习的正迁移，将新知纳入学生的已有认知结构中。

二、教学建议

只有掌握了概念的本质属性，才能提高学生分析问题和解决问题的能力。“倍”的本质属性是什么？“倍”是两个量比较的结果，以一个量为标准，另一个量有这样相同的几份就是它的几倍。怎样才算理解了“倍”？例如，当学生看到“6是3的几倍”或“2的3倍是多少”这样具有乘法结构的描述时就能在脑海中呈现一幅结构表象图；或者当学生能用画一画、说一说等举例说明“什么是2倍”时，我们就认为学生理解了“倍”。

基于第一部分的教材分析，笔者认为教学中要充分利用学生对“乘、除法意义”的认识以及有关“一份”和“几份”的经验，将它们作为学习新知的生长点和支撑点，通过认知的同化（都是求“一个数里含有几个另一个数”），把“倍”的认识纳入学生已有的认知结构中。在教学中，通过大量的操作活动，借助画图表征的功能，不断丰富学生的表象，凸显概念的结构关系。并且不断进行对比与抽象，完成将“倍”从“形”到“数”的转化，逐步丰富“倍”知识的表象，深化对“倍”知识的理解。

（一）找准教学生长点，沟通新知与旧知的联系

学生在之前的学习中已经认识了乘法和除法的意义，也具有“份”的生活经验。因此将“倍”的认识建立在“份”和除法的意义之上，有利于帮助学生沟通新知与旧知之间的联系，较顺利地把“倍”的认识纳入学生已有的认知结构中。

教学中，教师呈现主题图引导学生数出各种小动物的数量，让他们比一比小猴子和小鸭子的数量。通常，学生能运用以前的学习经验，提出“比多比少”与“求和”这样的“加法结构”的问题，很少有学生能用“倍”来比较两种小动物的只数（即使极少数学生说出“倍”，也并不知道其含义）。此时，教师可告知学生，除了对小猴子和小鸭子进行比多比少外，还可以从另一个角度来比较。首先，教师要充分结合直观图，进行圈一圈、画一画，指出：把小猴的只数看作1份，小鸭子的只数就有这样的2份，我们就说小鸭子的只数是小猴子的2倍，也就是6是3的2倍。其次，教师还应引导学生将“倍”和除法意义联系起来，把小鸭子的只数每3只看成1份，6里面有这样的2份，也就是说6里面有2个3，用除法算式6÷3=2来表示（提醒学生这里2的后面不写单位名称，因为倍是表示两个数量间的一种关系，不是单位名称）。

（二）利用“形”的直观，初步建立“倍”的表象

在学习“倍”时，常有学生认为“6比3多2倍”，可见，学生对“倍”的认识受到“比多比少”学习的负迁移，也说明学生未掌握“倍”的概念的本质属性。认知心理学认为，概念形成其实可以概括为两个阶段，即从完整表象上升为抽象概念，实现抽象概念在思维过程中的具体再现。在这两次必备转换过程中形成完整表象是最重要的一个环节。而由于低年级学生表达能力的欠缺，让学生通过画图表征来表达出自己构建的概念表象就显得尤为重要。

在比较完小猴子与小鸭子的只数后，教师要引导学生模仿着画一画、圈一圈、说一说：把谁看成1份，谁是谁的几倍？而后，让学生也用画图表征的方法，来比较图中其他动物只数间的关系，要求画出的图要能清楚地看出谁是谁的几倍。在交流中要让学生体会到：不同只数的动物间的倍数关系可能是相同的（小鸭子的只数是小猴子的2倍；松鼠的只数是孔雀的2倍），也可能是不相同的（小鸭子的只数是小猴子的2倍；小鸡的只数是松鼠的4倍）；而同样的小鸟只数与不同动物只数比较，它们的倍数关系是不同的。最后，引导学生用除法算式表示出这些倍数关系。在这一过程中，要逐步引导学生体会：在比较两种动物的只数时，把一种动物的只数看作1份，再看另一种动物的只数里有几个这样的1份，就是它的几倍。

这样，学生接触大量实物间的倍数关系素材，通过画图表征（圈一圈）凸显了“倍”的概念本质，帮助学生初步理解了“倍”的概念。

（三）在不断对比与抽象中，逐步理解倍的意义

如何让学生进一步理解“倍”的概念呢？这就需要在不断对比与抽象中，舍弃各种不相干的因素，在变化中抓住“不变”，而这“不变”就是它们的量性特征，就是“倍”的本质。

1. 一倍数不变，几倍数变化。

（1）出示蛋糕图（如图1所示），美羊羊做了3个草莓蛋糕和12个爱心蛋糕。请问：爱心蛋糕的个数是草莓蛋糕的几倍？

在学生回答并说出是怎么想的后，课件又逐份增加爱心蛋糕，追问：现在爱心蛋糕的个数是草莓蛋糕的几倍？你是怎么想的？

（2）客人们吃了一些爱心蛋糕，现在，爱心蛋糕的个数是草莓蛋糕的几倍？课件逐份减少爱心蛋糕，最后屏幕上剩下草莓蛋糕、爱心蛋糕各3个，讨论中明确：把草莓蛋糕看作1份，爱心蛋糕也有这样的1份，我们就说爱心蛋糕是草莓蛋糕的1倍，也可以说草莓蛋糕是爱心蛋糕的1倍，此时，两种蛋糕的个数是一样的。

讨论：草莓蛋糕一直都是3个，为什么爱心蛋糕的个数是草莓蛋糕的几倍却一直在变化呢？

师：如果爱心蛋糕有这样的7份呢？10份、100份呢？你发现了什么？

小结：把草莓蛋糕看成1份，爱心蛋糕有这样的几份就是草莓蛋糕的几倍。

2. 几倍数不变，一倍数变化。

懒羊羊也学着制作蛋糕，它做了12个爱心蛋糕，还做了一些草莓蛋糕，请问：爱心蛋糕是草莓蛋糕的几倍？（讨论后归纳：倍是两个量在比较，不知道草莓蛋糕的个数，就无法比较）

师：看来1份草莓蛋糕有几个太关键了，大家猜猜，草莓蛋糕可能有几个？这时，爱心蛋糕是草莓蛋糕的几倍？

讨论：爱心蛋糕一直是12个，为什么两种蛋糕之间的倍数关系却发生了变化？

讨论后明确：爱心蛋糕和草莓蛋糕在比较，这里要看草莓蛋糕有几个，它是我们比的标准，标准变了，倍数也就发生了变化。

3. 倍数不变，一倍数变化。

师：请你在本子上画一画，第一行画圆形，想画几个就画几个，在第二行画三角形，让三角形的个数是圆形的2倍。（学生独立画，教师巡视。完成后全班交流、反馈）

讨论1：要求画出的三角形的个数必须是圆形的2倍，可是为什么大家画出的三角形的个数却各不相同呢？

生：因为第一行画出的圆形的个数都不相同，它的2倍也就不相同了。

师：那么请你们再想一想，尽管圆形和三角形的个数不尽相同，但有一样是相同的，那就是……

生：三角形的个数都是圆形的2倍。

讨论2：为什么三角形、圆形的个数各不相同，可是三角形的个数却都是圆形的2倍呢？

生：因为把圆形的个数看成1份，三角形的个数里始终有这样的2份，所以就是圆形的2倍。

师：是啊，只要三角形的个数里有2份圆形的个数那么多，我们就说三角形的个数是圆形的2倍。

这样，通过以上一系列“变与不变”的对比活动，学生在圈一圈、画一画、说一说中进一步明确：以一方为标准，另一方有这样相同的几份就是它的几倍，建构了倍的直观模型。

（作者单位：福建省泉州师范学院附属小学 本专辑责任编辑：王彬）