“分割”思想在解答非线性变化物理习题中的运用

尤从业

新课程理念下，高考物理更加注重物理思想、物理方法的考查，“分割”思想和方法作为一种迅速解决非线性变量问题的有效手段，仍将在高考试题中有所体现。在解决非线性变化的变量问题时，如果能够掌握好这种解题方法，在很多时候能使复杂问题大大简化，给我们解决物理问题带来事半功倍的效果。“分割”思想和方法，从数学上讲，其实是一种微分的思想方法，下面通过一道例题谈谈“分割”思想在解決物理问题中的运用。

【案例】如图甲所示，光滑绝缘水平面上一矩形金属线圈abcd的质量为m、电阻为R、ad边长度为L，其右侧是有左右边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，ab边长度与有界磁场区域宽度相等。在t=0时刻线圈以初速度v0进入磁场，在t=T时刻线圈刚好全部进入磁场，且速度为v1。此时对线圈施加一沿运动方向的变力F，使线圈在t=2T时刻全部离开该磁场区。若上述过程中线圈的v-t图像如图乙所示，整个图像关于t=T轴对称。若线圈的面积为S，请运用牛顿第二运动定律和电磁学规律证明：在线圈进入磁场过程中， v0-v1=B2LSmR。

【分析】此题以线圈穿过匀强磁场区域时，线圈的v-t图像给出解题信息，以证明的形式综合考查法拉第电磁感应定律、无限分割思想（微元法）、匀变速直线运动规律等。经分析在线圈进入磁场的过程中，加速度是非线性变化的，不能够直接运用牛顿第二定律和运动学公式处理上述问题。本题采用无限“分割”思想，把时间分成若干等份后，对运动过程的极小部分进行分析， 在极短时间内加速度变化很小，可以近似地认为不变，这样每一等份可看成匀变速运动，然后利用牛顿第二定律和运动学公式以及电量的求解方法综合起来解题，简化解题过程。

“分割”思想是通过对运动过程的极小部分进行分析，将变化的过程转化为不变的过程，达到了 “化变为恒”、“化曲为直”的作用。例如，在“普通高中课程标准实验教科书（物理必修1）”中引入瞬时速度的概念时，教材中先从平均速度引入，而平均速度只能粗略地描述运动的快慢，为了使运动的描述更加精确，教材在处理相关问题时，采用了无限“分割”思想，把时间无限分割，提出从t到t+Δt这段时间间隔内，Δt越小运动快慢的描述就越精确。但若Δt趋向于零时，ΔxΔt就可以认为是t时刻的瞬时速度。

总之，无限“分割”思想体现了近似逼近的物理思想，是用于解决非线性变化的变量问题的有效途径。如果物理问题中涉及的是非线性变量，无法用牛顿第二定律等常规方法求解，但采用无限“分割”思想，可以将所研究的物理过程，分割成许多微小单元，这样就可以将整个运动过程看成是由许多微小的运动过程组成的，每一个微小的运动过程中物理量的变化非常微小，可以近似认为不变，最终将非线性变量变成线性变量，甚至常量。然后，利用相关的物理规律求得每一微小运动过程中所求的量。

（责任编辑易志毅）