浅谈三角板在初中数学解题中的作用

张建怀

从小学到中学，一副小小的三角板几乎是每个人上学必备的最简单、实用的学习用具.作为工具，三角板可以进行简单的几何作图，可以进行基本的测量，而更多的则是作为命题的载体出现在我们的面前.充分认识三角板，掌握三角板本身具有的数与形的特点，将会给我们的解题带来极大的帮助.本文将以中考题为例加以说明.

一、利用三角板的三边关系，解决三角函数问题

在一副三角板中，含45°锐角的三角板三边之比为1∶1∶2，含30°锐角的三角板三边之比为1∶3∶2，利用这个结果，可以很快“看出”题目的答案.

例1（2009，广东中山）如图1所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即線段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区， 为什么？（参考数据：3≈1732，2≈1414）

分析：过点P作AB边上的高PC，得到的Rt△APC和Rt△BPC刚好就相当于一副三角板，利用三边关系，可设AC=x，则PC=BC=3x，再利用AC+BC=AB=100，列出方程求解即可.

答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.

二、通过三角板的操作实践，解决几何中的旋转问题

将三角板按照特定的方式进行旋转变换，根据图形旋转的性质，利用三角板的特殊边角关系，借助三角形的全等知识，即可解决问题.

例2（2010，黑龙江牡丹江）在平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和直线l.过点C作CE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F.当点E与点A重合时（图2-1），易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2-2、图2-3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出线段AF、BF、CE之间的数量关系的猜想（不需证明）.

图2-1图2-2图2-3分析：图形变换改变了图形的位置，但不改变图形的大小和形状.将变化后的图形与图2-1进行对比，容易联想到构造正方形的辅助线的作法.至于线段AF、BF、CE之间的数量关系，则可以由三角形的全等得到.

解：图2-2结论成立，证明如下.

三、利用三角板建立数学模型，解决实际问题

把题目中隐含的三角板找出来，利用其边角关系，建立数学模型，对问题的解决将会有出其不意的效果.

例4（2009，福建厦门）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交.类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交.

当直线y=-3x+b与正方形OABC相交时，一定也与线段OB相交，且交点不与点O、 B重合.故直线y=-3x+b也一定与线段OF1相交，记交点为F，则 F不与点O、 F1重合，且OF=d.

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.

分析：本题是一个综合性比较强的题目，特别是第（3）小题.若能发现图中隐含的三角板型的三角形并利用其边角性质来解题，问题将迎刃而解.如图5-2，由直线l的解析式y=33x+3，易得∠KAB=30°，再由AB与AH关于直线l对称，可得∠HAB=60°，过K作KD⊥x轴于点D，又因为BK∥AH，得到∠KBD=∠HAB =60°，进而得到三角板型的三角形如△AKD、△BKD.求最小值时作点K关于直线AH的对称点Q，连结BQ后得到的△BQK也是一个三角板型的三角形，易得HN+NM+MK的最小值为BQ，等于8.

三角板是学生最熟悉的一种数学工具，利用三角板的拼接可以得到不同大小的角、特殊的三角形、特殊的平行四边形、梯形等几何图形；利用三角板还可以画平行线、角的平分线、线段的垂直平分线、画线段的黄金分割点等.作为命题的载体，近年的中考题常见有借助于三角板来考察图形的变换、锐角三角函数、三角形的全等与相似等知识点，乃至在较难的综合题中也常常出现三角板的影子，而三角板自身的边角关系的确为解题提供了极大的方便.所以，小小的三角板，往往可以解决大问题，这就要求我们在做题的过程中有敏锐的观察力，善于观察，积极思考，逐步提高解决问题的能力.

参考文献

[1]范良火.义务教育课程标准实验教科书·数学九上 [M].杭州：浙江教育出版社， 2007.

[2]杜恒斌.三角板在初中数学课堂教学中应用的实践与研究[J] .浙江省初中数学优秀论文集，衢州，2009.