二次函数

何晓勤

重点：①二次函数的解析式（一般式、顶点式、零点式）的灵活应用；②二次函数的图象及性质的应用，如求最值和研究单调性等；③二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系.

难点：①含参数二次函数在闭区间上的最值问题；②含参数二次函数的零点分布（即含参数一元二次方程根的分布）问题；③三个“二次”的综合问题.

1. 二次函数解题的基本方法

（1）认真审题，明确题目考查的方向；利用题目条件，合理选用二次函数的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）为顶点；零点（3）二次函数在闭区间的最值问题常考三种类型：轴定区间定、轴变区间定、轴定区间变. 无论是哪种类型，解决的关键是确定对称轴与区间的关系. 当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论. 二次函数在闭区间的最值只可能在区间的端点或顶点取得. 若二次函数的二次项系数含参数a，则必须分a>0，a=0，a<0进行第一层的讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论.

（4）一元二次方程区间根的分布问题通常转化为二次函数的零点分布问题去处理. 解决此类问题需要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号.

（5）三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象和性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究包含二次曲线等内容的基础工具.

D. （-∞，a）和（c，+∞）内

思索 由函数f（x）的解析式具有对称性的特征，并结合选项可知，求解的关键是判断函数f（x）的两个零点与a，b，c之间的大小关系，于是可求出f（a）， f（b）， f（c）的值，并比较它们与0的大小关系，再结合零点存在性定理即可得到答案.

破解 由于a0， f（b）=（b-c）（b-a）<0， f（c）=（c-a）（c-b）>0.

因此f（a）·f（b）<0， f（b）·f（c）<0. 又f（x）是关于x的二次函数，数形结合（图略）可知，函数f（x）的图象是连续不断的曲线，因此函数f（x）的两零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.

（1）求证：函数y=f（x）必有零点；

（2）设函数g（x）=-f（x）-1.

①若g（x）在[-1，0]上是减函数，求实数a的取值范围；

②是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤g（x）≤n的解集恰好是[m，n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.

思索 （1）欲证函数y=f（x）存在零点，只需比较判别式与0的关系；当然，亦可考虑含参数二次函数过定点问题；（2）①研究函数g（x）=-f（x）-1=f（x）+1在[-1，0]上的单调性，需要考虑函数f（x）+1的图象特征，即先研究判别式与0的关系，再研究函数f（x）+1的对称轴与区间[-1，0]关系，综合起来列出关于a的不等式组进行求解；②结合函数g（x）的图象特征，找出“关于x的不等式m≤g（x）≤n的解集恰好是[m，n]”的条件，列出方程组并结合m，n的取值范围进行求解.

参考答案

1. B 画出两个函数f（x），g（x）的图象，由图知f（x），g（x）的图象的交点个数为2. 故选B.