“先猜，后证”是数学的发现之道

樊建丽

摘要：本文简要介绍了《勾股定理》的课堂教学过程，分析了教师是如何引导学生进行《勾股定理》的学习的，希望能给广大数学教师带来一定的启示和帮助。

关键词：数学教学；《勾股定理》；课堂教学实录；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）09-0109

教学内容：浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第二章第六节第一课时。

一、教学目标

1. 经历动手操作、实验观察、归纳猜想、验证等探索勾股定理的过程，培养学生探索能力，发展学生数形结合的数学思想方法；2. 在探索勾股定理的教学中，坚持育人为本、德育为先，促进学生的全面发展；3. 通过探究勾股定理的正确性及数学史的介绍，让学生感受勾股定理的辉煌成果。

二、教学重点与难点分析

1. 重点：体验勾股定理的探索过程。2. 难点：用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，因既具严密性，又具直观性，对于八年级学生的认知特点与已有知识基础学生较难理解。

三、学情分析

八年级的学生已经具备一定的观察、猜测、归纳、推理和找规律的能力，但将发现的规律用于任意一个直角三角形三边数量关系时，因测量的误差，产生思维冲突，学生不知所措。虽然学生在七下已接触过用几何图形的截、割、拼、补来证明乘法公式，但因其既具严密性，又具直观性，学生较难想到用面积法证明代数式之间的恒等关系。

四、教学准备

学生：每一合作小组课前制作四个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）硬纸片。

教师：制作多媒体课件和准备边长1厘米的方格纸（全班每人一张）

师：这是一幅其他星球的图片，人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“外星人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？

生：发送一些信息。

师：我国数学家华罗庚曾建议发射“勾股定理”

图为与“外星人”联系的信号。华罗庚为什么会想到用“勾股定理”的图作为一种“语言”与“外星人”联系呢？学了这节课就能明白其中的道理了，先让我们一起来观察“勾股定理”图是由哪些图形组成的。

生：三个正方形与一个直角三角形组成。

师：从这图中还能发现什么吗？

生：三个正方形的边长分别与这个直角三角形的边长相等。以两直角边长为正方形的格子数之和恰好等于以斜边长为正方形的格子数。

师：很好，你非常善于观察，刚才发射勾股定理的图是不在同一张方格纸中研究的。现我们将借助同一张方格纸来探究正方形C的面积是否为25cm2。

师：拿出学习单，图中是在边长为1厘米的方格纸上， 以直角

三角形的三边长分别向外作正方形，如右图所示，试探索正方形C面积是否为25cm2（每组至少讲出两种方法并与其他组的同学交流）。

（学生讨论剧烈，三分钟后）

师：请借助实物投影仪展示你组内的方法。

生1：法一，测量出正方形C的边长为5cm，面积为25cm2；法二，以正方形的一个顶点为圆心、以正方形的边长为半径画弧，弧恰好经过某一格点且与这一顶点距离恰好为5cm。

师：很棒，通过测量与作图是发现问题的很好手段，还有其他方法吗？

生2：如图二，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， SC=4×■×3×4+1=25。

生3：如图3，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积， SC=72-4×■×3×4=25。

师：刚才两位同学用了割与补的方法，这是求面积的常用方法。

生4：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，SC=2×4+5=13。

师：这组同学真得很善于思考，用截与拼的方法将周围部分适当拼接可拼成一个正方形以便求出面积。

师：请你们整理一下思路，在求正方形C的面积时用了哪些方法。

生齐：测量、割、补、截拼数的方法。

师：通过刚才的研究我们发现图中三个正方形A，B，C的面积（生：SA+SB=SC）

师：还能发现什么？

生：两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：是否所有的直角三角形三边都具有这种数量关系呢？我们该如何研究呢？

生：我们可以通过画很多直角三角形，然后测量出三边长后，猜测出三边关系。

师：猜测的确是发现真理的很好途径。华罗庚先生曾指出：“形少数时难入微”，我们先从最简单的三组整数边长来寻找直角三角形的三边数量关系，拿出学习单，借助方格纸画好满足条件的三个直角三角形并将表格补充完整。

师：符合刚才发现的规律吗？

生：符合。

师：很好，刚才我们是通过特殊的三个例子符合刚才发现的结论，我们都知道这种特殊的例子不具有代表性，因此，我们要任意画一个直角三角形去通过测量看是否符合我们刚才所得到的结论。

生：两直角边的平方和与斜边的平方近似相等。

师：谁能说说其中的道理吗？

生：因为测量存在误差。

师：是的，我们仅凭实验得出的结论不一定可靠。

师：那你知道怎样得出的结论一定是正确的。

生：通过推理得到的结论一定是正确的。

师：你这种严谨的学习态度值得我们学习。下面我们通过什么方式来推断此结论是否正确。

（学生陷入思考，师引导学生）

师：请大家回想，平方差公式是如何验证的。

生：通过拼图来验证结论是否正确。

师：拿出课前准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c），怎样拼，能验证a2+b2=c2。

生：若能拼一个含有以斜边c为边的正方形，就能得到c2。

师：请将拼好的正方形贴到黑板上，有不同拼法的小组也到黑板上展示，同时，教师将拼成的图形画在黑板上，并请两位同学写出推理过程，其他同学在草稿纸上写出推理过程。

师：像这种用推理的方法判断直角三角形三边数量关系为正确的命题为定理，古人称这一为定理为勾股定理。

师：请大家整理一下思路，我们怎样研究一个命题是否是正确的。

生：先由特殊的三组数，通过画图、测量得到猜想，再借助拼图，通过同一图形面积的两种不同求法进行推理验证得到。

师：“先猜、后证”就是大多数科学家的发现之道。

师：请你结合图形语言、文字语言、写出直角三角形三边数量关系的符号语言。

生：∵∠C=90°，∴a2+b2=c2或AC2+BC2=AB2。

师：是不是直角三角形的三边是否也具有这种关系呢？在方格纸上画一个锐角或钝角三角形测量三边是否具有这三种关系？

生：只有直角三角形的三边长才具备这种数量关系。

师：研究直角三角形三边的数量关系是我国早在三千多年前，周朝数学家商高就已提出，请看数学书第38页，一起读。

师：教师在课前也找了些关于勾股定理的数学史，请看幻灯片。

师：你知道现在数学界为什么把它称为勾股定理了吧？

生：因为我国发现最早。

师：现在你明白华罗庚为什么会想到用“勾股定理”的图作为一种“语言”与“外星人”联系的道理了吧？其实，刚才在验证勾股定理时，你们拼的图就是三国时期吴国的数学家赵爽创制的“勾股圆方图”又称“弦图”。幻灯片出示：

师：你们也当了一回小小的数学家。

师：现在我们停下来想一想我们整个课的过程，我们怎样得出这个结论的？我们通过画图、测量猜测出规律，再通过拼图、观察、抽象（图形）、推理概括（勾股定理）。实际上这也是科学家、数学家，在发现某一个定理或者是真理的时候进行的步骤。所以，大家的思维和数学家的思维还是蛮一致的。因此，笔者相信在不久的将来我们的学生里边一定会有某位数学家或科学家的。

（作者单位：浙江省衢州市书院中学 324000）