数学复习课：借题发挥

任勇

摘要

“问题是数学的心脏”，学习数学，关键之一是学会解题.解题教学是数学教师的基本功，解题是数学教学中的“微观艺术”，而任何艺术的精彩之处和感人之处，也许就在这“微观”之中.

例题教学是帮助学生掌握概念、定理及其它数学知识的手段；又是使学生掌握数学思想、方法，形成技能技巧以及培养学生数学能力的重要手段.

如何充分发掘利用课本例题的价值，是数学教育工作者正在积极探索的一个热点问题.

奥加涅相说的好：“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性，……从解本题到向独立地提出类似的问题和解答这些问题，这个过程显然在扩大解题的武器库，学生利用类比和概括的能力在形成；辨证思维、思维的独立性以及创造性的素质也在发展.”

数学教育家波利亚也认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理能力.”

基于上述理念，笔者以一道课本题为例，借题发挥，探索一题多解、一题多变、一题多用的价值，以期培养学生学会从多层次、广视角、全方位地认识、研究问题，培养学生的创新意识和创新能力.

一道数学题，由思考的角度不同可得到多种不同的思路.广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探察、探索、思维能力.

证1（分析法）；证2（综合法）；证3（求差比较法）；证4（求商比较法）；证5（反证法）；证6（放缩法）；证7（构造函数法）；证8（增量法）；证9（定比分点法）；证10（斜率法1）；证法11（斜率法2）；证法12（三角法）；证法13（几何法）.

“解需有法，解无定法.大法必依，小法必活.”前六种证法是大法，必须“牢牢依靠”；后六种证法是小法，要会“灵活应用”.尤其是后七种证法，我们在“意料之外”和“令人震惊”之中，又一次体验到了数学的神奇、数学的美！

2 一题多变的教学价值

一个例题，如果静止地、孤立地去解答它，那么再好也只不过是解决了一个问题.数学解题教学应突出探索活动，探索活动不仅停留在对原题的解法上的探索上，而应适当地有机地对原题进行深层的探索，挖掘出更深刻的结论.这就是数学教学中的变式艺术.变式，是一种探索问题的方法，也是一种值得提倡的学习方法；变式，可以激发学生学习数学的兴趣，可以有效地提高学生的数学水平.

引导学生给出5个变式，联想到等比定理，进一步猜想，可得变式6.

法，王老师还竟能再“索”出十二种新的解法，不可谓不绝！喜的是有了这十二种新的解法，这道题的证法就有二十四种了，我今后再上这节课就更加从容而自信了！

展望

受到本例的启发，我多么希望能有100节这样的“精品课”，于是我萌发了要编写《一课一题100例》一书.我向厦门市的老师们约稿，约稿函如下.

为了弘扬数学教师的智慧，为了指导广大数学教师智慧地开展教育教学工作，为了提高数学课堂教学的有效性，揭示数学知识之间的联系，培养学生发散思维能力，促进教师专业发展，经与出版社协商，拟出版《数学一课一例精选》一书，有关事宜说明如下：

一、书名及出版社

1.书名：《数学一课一例精选（初中版）》；《数学一课一例精选（高中版）》.

2.出版社：福建教育出版社（暂定）.

二、主编及作者

1.主编：任 勇.

2.作者：厦门市数学教师.

三、读者对象

中学数学教师，有关数学教育研究人员，学有余力的中学生，其他数学爱好者.

四、难度要求

源于课本难度，高于课本难度，尽可能延伸，部分内容可延伸至数学学科竞赛难度.

五、截稿日期：2008年10月8日.

六、写作要求

1.针对性：读者对象是数学教师，尤其是青年数学教师；

2.指导性：对广大数学教师有指导意义，体现厦门市数学教师的智慧；

3.时代性：尽可能贴近时代，体现先进教育理念，符合课改精神；

4.可读性：不刻意追求理论的完整性，但要求写作具有可读性、实用性；

5.以一题多解、一题多变、一题多用为主线展开写作，尽量都涉及，如确有难度，也不苛求面面俱到；

6.字数：每篇文章字数控制在4000～10000字；

7.写作格式：见附件中样稿格式；

8.在稿件后面注明：姓名，<30字的简介，通讯地址，联系电话，邮箱；

9.稿件要求：以电子版形式，发至：

ren.yong@163.com

10.联系电话：（此略） 联系人：任 勇

11.作者权利：每录用一篇，给作者一本样书，并获相应稿酬；

12.请厦门市数学教师大力支持此项工作，希望每位理事至少提供一篇文章.

情况如何，一言以蔽之：佳作极少！