善用数学归纳法 巧证数列综合题

陈光颖

【摘要】本文主要是探讨如何巧用数学归纳法证明有关数列与不等式的综合题型，以替代传统的复杂证明方法，并且探讨如何运用数学归纳法证明看似不能用数学归纳法证明的有关数列与不等式的综合题型，从而使更多同学能从容面对这类复杂的证明问题。

【关键词】数学归纳法 不等式证明

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）05-0137-02

美国数学教师协会在2000年修订数学课程标准时，主张数学教育宜强调平等的原则，每一位学生的潜力都应该获得相当的重视，对于学生有所不足时，要给予补救教学。

在高中数学教学中，有关数列与不等式的综合问题的证明往往是学生学习的难点，很多的证明方法无从下手且难以运用，从而使众多学生对该类题型产生了负面情绪，甚至对这类证明题产生排斥的态度。

数学归纳法——这种用以证明当n属于所有自然数时一个表达式的成立的证明方法，却能以其独有的特点能让大多数学生容易接受并正确运用。近些年来，数学归纳法在高中的数学教材中不仅占据着非常重要的地位，同时也是高考中不可或缺的一种解题方法。所以探讨如何正确使用数学归纳法并扩大数学归纳法的使用范畴，便有着重要的意义了。

下面我们先来看一个试题：

已知数列{an}的通项an=3n-1（n∈N*），且数列{bn}满足an（2bn-1）=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2（an+3），n∈N*。

一般资料提供的常用的证明方法或用比较法以结合数列的增减性，或用放缩法对其进行证明。这些方法虽然是不等式证明中的重要方法，然而掌握起来并不轻松，尤其在考试中很难轻易运用。

其实，当我们发现被证明的结论最简化的形式为“f（n）>g（n）”，便应该想到运用数学归纳法。因为数学归纳法不仅可以减少思考时间，而且由其固定程式，可使解题变得轻松。以下我们用数学归纳法来证明该题。

不难发现，用数学归纳法证明该题，不仅不需要复杂的思维过程，甚至连运算也变得机械化，只需按照固定的程式按部就班地进行证明便可得到完美的结果。

数学归纳法证明有关于数列与不等式的部分综合题型固然是简单易行，但在以往，我们总觉得它有很多涉及不到的地方。下面我们以《2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷》的压轴题为例：

设数列{an}的前n项的和Sn=■an-■×2n+1+■，n=1，2，3…

①求首项a1与通项an；

②设Tn=■，n=1，2，3…证明：■Ti<■。

其解题方法读者可以参照《2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷》标准答案，事实上，很多学生在证明该题的过程中，一般会得到Tn=■=■而很难得到Tn=■=■×■的形式，从而无法用裂项的办法来处理这个求和的问题。此时，我们是否也能用数学归纳法对这类命题进行论证呢？

我们由题中的不等式■Ti<■（n∈N*）不难看出，由于不等式的左边从n=k到n=k+1的转换过程中数值在增大，而不等式的右边却是一个常数，所以即使假设n=k时，不等式成立，也无法证明n=k+1时不等式仍然成立。也就是说一般的形如f（n）

我们知道，数学归纳法是使用数学归纳法原理，经由演绎以证明一些由特例所推导出来的数学叙述的证明方法（朱绮鸿，1999）。在数学归纳法的教学中，若能顾及到“观察、归纳、臆测、证明”而安排先归纳出结果再以数学归纳法证明之，而不是让学生只做证明题的叙述恒为真而已，那将能融入归纳与演绎互相支持与互补的精神。

就以上论述，下面我们观察■■Ti，并计算该数列的前几项：

根据以上数据我们可以猜想出■Ti=■（1-■）<■，因为■（1-■）<■，所以我们只需证明■Ti=■（1-■）成立，就能得到结论成立。下面我们就用数学归纳法对猜想的结果进行证明，证明如下：

以上证明的过程是通过观察、归纳并猜想出其求和，从而轻松地运用数学归纳法进行证明的一个实例。在很大程度上可操作性变得更强，也是大多学生能够接受的一种解题办法。

所以当我们很好地运用数学归纳法，合理地顾及到“观察、归纳、臆测、证明”而安排先归纳出结果再以数学归纳法证明，这对于证明数列与不等式的综合题型是有着非常重要意义的。

参考文献：

[1]陈建苍、柳贤主 《数学史融入数学归纳法教学之探究》

[2]朱绮鸿《高中师生对数学归纳法了解的情况与教学因应之道》