RIKEN介观器件腔中粒子逃逸曲线的无标度区研究

杨秦男，张延惠* ，蔡祥吉，沈志朋，徐学友

(1.山东师范大学物理与电子科学学院，山东 济南 250014;2.山东省科学院情报研究所，山东 济南 250014)

混沌体系区别于经典周期体系，由于对初始条件的敏感依赖性，其内部结构是无限精细的，即存在着无限复杂性。自相似性是指混沌体系内部存在局部形态与整体相似的结构，是混沌体系非线性行为中的重要规律。伴随混沌及其分形理论的发展，越来越多的混沌体系被发现其内部存在着分形自相似结构。Hansen等［1］研究了弹道轨迹从一个开放花瓶状腔中的逃逸，在最终的逃逸－时间图像中得到了“韵律分形”的自相似结构。Suhan Ree等人［2］研究了粒子在开放的切圆台球体系中的传输特性，记录了粒子出射窗口与其入射角的函数关系，并发现了其曲线中的分形自相似结构。我们研究小组对粒子在开放Sinai台球中输运过程的研究中也发现了其中存在的自相似结构［3－4］。以上研究表明自相似性及其结构在混沌体系中是广泛存在的，为分形自相似的进一步研究提供了理论基础。

在本文研究的RIKEN介观器件中，粒子的逃逸曲线存在混沌性质以及很好的自相似性。由于混沌体系的非周期性难以定量直观表述，而其中的自相似结构便于数值化表征以及定量分析，因而通过自相似结构对其混沌体系进行定量分析及表征成为一种好的手段。基于逃逸曲线中自相似结构的标度不变性［5］，其相似比随器件参数的变化规律，以及相似比与逃逸曲线混沌性质的关系等性质更易于研究。

1 粒子在RIKEN器件中的混沌逃逸

图1为本文采用的RIKEN介观器件的电镜扫描图，由于器件底部两个开口的尺度小于入射粒子尺度，因此粒子输运过程中无法通过，两开口可近似视为势垒。器件理论模型如图2所示，二维器件腔可视为无限深势阱，直线和底部圆弧为势垒，粒子在腔内与器件壁的碰撞视为完全弹性碰撞且运动轨迹遵从反射定律［6］。定义器件腔长为图2中顶端到底端的距离，本文以下的讨论主要基于器件腔长的变化来分析相似比及混沌性质的变化;粒子的入射角度如图2标注所示。粒子从器件左侧开口入射，当粒子到达器件两侧开口的任意位置时逃逸器件腔。由于粒子在器件腔中逃逸性质对粒子入射的初始位置依赖很弱，因此在以下的研究中我们均默认入射位置为左侧开口的中央。

由于底部圆弧区域的存在，当入射角存在微小差异的两个粒子射到圆弧上时，它们反射轨迹的夹角及距离会进一步增大，从而导致了粒子逃逸前碰撞次数的明显差异(如图2实虚两条逃逸轨迹所示)。统计不同入射角度下的碰撞次数，得到如图3示的粒子逃逸器件腔前碰撞次数随入射角的变化曲线(以下简称为逃逸曲线)，由于碰撞次数大于60次的点较少，同时为方便研究曲线的混沌性质，因此逃逸曲线的碰撞次数只取到60次。可以看到图中有若干黑带区域，这是由逃逸前粒子的碰撞次数随入射角剧烈变化形成的。黑带区域的集合为混沌吸引子［7］，黑带交错分布产生混沌，该逃逸过程亦称之为“混沌逃逸”［1］。

由于标度不变性的存在，混沌逃逸曲线中自相似图形得以出现，其局部形态与整体(指定区域)形态相似。同时这种自相似性存在于一定标尺(尺度)范围内，其两端受到某种特征尺度的限制。具有自相似性的范围叫做无标度区［4］，自相似图形所谓的“整体”就是指无标度区，而非整条混沌逃逸曲线。经反复研究发现:图3中的虚线框所示区间为该混沌逃逸曲线中自相似性所存在的无标度区，超越这个区域虽然仍存在混沌，但是自相似性不复存在。

2 相似比的恒定性探究

在无标度区内，混沌体系的自相似性得到很好的体现，图4、图5为在无标度区内发现的两组不同的自相似结构。可以看到在每种自相似结构中，不同相似级之间混沌吸引子的分布区间是一致的，每个相似级都是上一相似级局部放大后的再现。在每个相似级上，放大区域的位置以及放大倍数也是基本一致的。这说明混沌体系的自相似性不仅存在于逃逸曲线的形态上，在标度空间及放大尺度上也存在。

为定量研究自相似结构各级标度区域间的关系，定义第n个相似级区间长度为Ln，相邻两个相似级之间关系定义为对于不相邻的两个相似级定义β=。β即为自相似结构的相似比，如果已知第n个相似级区间长度，则第m个相似级区间长度为Lm=Lnβ(m－n)。以上关系成立的条件是每组自相似结构中的相似比β为一个恒定值。

将图4、图5的两组自相似结构进行统计，得到表1。可以看到在每组自相似结构中相似比β都是趋于稳定的，由于统计误差的存在，β值有小幅度波动。对两组自相似结构的相似比分别求平均值可以得到更准确的β值:=0.2170=0.2150;同时利用误差公式 η =×100% 可计算β1与β2的误差率η =0.926%。

图4 无标度区存在的第一种自相似结构Fig.4 The first self-similar structure of a scaling region

图5 无标度区存在的第二种自相似结构Fig.5 The second self-similar structure of a scaling region

表1 两种自相似结构的比较Table 1 Comparisons of two self-similar structures

3 混沌体系的相似比表征

当混沌体系发生变化时，其内部的自相似结构随之改变，同时自相似性所存在的无标度区也是不同的。本节主要探讨在RIKEN器件的腔长变化时，逃逸曲线的混沌性质和相似比的变化规律，以及相似比与体系混沌性质的关系，以寻找一种新的混沌性质的表征方法。

图6为改变RIKEN器件腔长条件后的粒子逃逸曲线比较，右侧为对应的器件腔长，每条逃逸曲线中的虚线框区域为其自相似结构所存在的无标度区。可以看到随着器件腔长的增加，逃逸曲线中黑带的比例逐渐增加，自相似性所存在的无标度区范围逐渐变窄。

体系的混沌性质一般采用分形维数来定量描述，对于逃逸曲线这类统计混沌曲线，我们使用盒计数法来计算其分形维数，亦称之为豪斯多夫维数［3，8］。得到的分形维数随器件腔长变化曲线如图7所示，随着腔长的增加分形维数呈现增大趋势，对应逃逸曲线的混沌性质也就越强。由于计算误差的存在，分形维数在局部呈现一定的波动性。

当器件腔长改变时 ，逃逸曲线的无标度区范围及位置随之改变 ，无标度区内自相似结构的相似比也有所区别。采用第3节的方法，结合图6中各无标度区的范围，可以寻找每条逃逸曲线中的自相似结构。由于在同一个无标度区内相似比存在恒定性，所以我们根据它的任意一组自相似结构均可得到其相似比比值。图8为腔长在0.50～1.00时各混沌逃逸曲线对应自相似结构的相似比，可以看到，随着器件腔长的增加相似比数值单调减小，同时自相似性所存在的无标度区范围逐渐减小。

用分形维数取代腔长，得到图9的相似比β-分形维数Df关系曲线，由于图7中计算误差引起的波动性，β-Df曲线也呈现出一定的波动性。将图7中的曲线做平滑处理(即摒弃计算误差影响)后，利用不同腔长条件下分形维数的理论值，得到图10的β-Df曲线。逃逸曲线的分形维数Df随相似比β的增大而逐渐减小，而且在0.50～1.00的腔长区间内二者存在着很好的线性相关性。

综上可知，在RIKEN器件中随着腔长的增加，粒子逃逸曲线的混沌性质逐渐增强，自相似性存在的无标度区范围及相似比的数值均减小;分形维数与相似比线性相关，且相似比较容易统计得到，计算过程相对简单，因此相似比可以代替分形维数来表征体系的混沌性质。

4 结论

(1)通过对RIKEN介观器件腔中粒子逃逸曲线的研究，发现了自相似结构及其所存在的无标度区，证明了同一无标度区内相似比存在恒定性。

(2)随着器件腔长增加，逃逸曲线的无标度区范围减小，无标度区内自相似结构的相似比减小。

(3)逃逸曲线的分形维数与其相似比线性相关，分形维数越大相似比越小，体系的混沌性质越强。

(4)相似比比分形维数更容易测量和计算，对于混沌体系的统计规律以及混沌性质的定量表征有重要意义。

［1］HANSEN P，MITCHELL K A，DELOS J B.Escape of trajectories from a vase-shaped cavity［J］.Physical Review E，2006，73(6):066226.

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［3］蒋国辉，张延惠，蔡祥吉，等.开放Sinai台球中粒子输运性质的分形研究［J］.山东科学，2011，24(6):22－25.

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［5］黄润生.混沌及其应用［M］.武汉:武汉大学出版社，2000:179－180.

［6］徐学友，张延惠，黄发忠，等.二维椭圆量子台球中的谱分析［J］.物理学报，2005，54(10):4538－4542.

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