有限群的弱Φ-可补子群与超可解性

邱招丰

(温州职业技术学院，浙江 温州 325035)

有限群的弱Φ-可补子群与超可解性

邱招丰

(温州职业技术学院，浙江 温州 325035)

群G的一个子群H称为在G中弱Φ-可补，如果存在G的一个次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),其中Φ(H)为子群H的Frattini子群.文章利用子群的弱Φ-可补性对有限群结构的影响，给出了有限群为超可解群的若干充分条件.

弱Φ-可补子群；Frattini子群；超可解群;极大子群

群G的一个子群H称为在G中可补的，如果G存在一个子群K，使得G=HK且K∩H=1,可补子群在群的结构研究中有重要的作用.近年来通过对可补子群的条件加以限制，得到了一些新的概念和研究方法，并由此导致了一些新成果[1-4]的出现.文献[5]引入了Φ-可补概念，即称群G的一个子群H在G中Φ-可补，如果G存在一个正规子群H，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),其中Φ(H)为子群H的Frattini子群.本文将Φ-可补定义中的正规子群H减弱为次正规子群，引入弱Φ-可补的概念，并且利用子群的弱Φ-可补性得到了G为超可解群的几个充分条件.本文中所有群皆为有限群，Φ(G)、F(G)分别表示群G的Frattini子群、Fitting子群；π表示某一素数集；π(G)表示|G|的素因子的集合；p、r等表示素数，o(x)表示〈x〉的价.所用的概念和符号参考文献[6].

1 预备知识

定义若群G中存在次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),其中Φ(H)为子群H的Frattini子群，称子群H在G中弱Φ-可补.

注：显然Φ-可补一定是弱Φ-可补，但反之不真.事实上，设G={(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1423),(1324)}，则H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是G的弱Φ-可补，但不是G的Φ-可补.

引理1假设G是有限群：

1)若H在G中弱Φ-可补且H≤M≤G，则H在M中弱Φ-可补；

2)若N◁G且N≤H,H在G中弱Φ-可补,则H/N在G/N中弱Φ-可补;若N≤Φ(H),其逆也成立；

3)若H为G的π-子群，K为G的正规π′-子群，如果H在G中弱Φ-可补，则HK/K在G/K中弱Φ-可补.

证明1)由H在G中弱Φ-可补，可知在G中存在次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),因此可以推出H∩(M∩K)=(H∩K)∩M≤Φ(H)∩M≤Φ(H)且M=M∩HK=H(M∩K),又由于M∩K◁◁M成立，所以H在M中弱Φ-可补.

2)由H在G中弱Φ-可补，可知在G中存在次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H)，因此有G/N=HK/N=(H/N)(KN/N)且H/N∩KN/N=(H∩KN)/N=(H∩K)N/N≤Φ(H)N/N≤Φ(H/N),其中KN/N◁◁G/N,因此H/N在G/N中弱Φ-可补.

若H/N在G/N中弱Φ-可补，可知在G/N中存在次正规子群K/N使得(H/N)(K/N)=G/N且(H/N)∩(K/N)≤Φ(H/N)=Φ(H)/N,其中N≤Φ(H),因此G=HK且H∩K≤Φ(H),即H在G中弱Φ-可补.

3)由H在G中弱Φ-可补，可知在G中存在次正规子群N，使得G=HN且H∩N≤Φ(H),因为|G|π′=|N|π′=|KN|π′,有|K∩N|π′=|K|π′=|K|,且K≤N,显然G/K=(HK/K)(KN/K)=(HK/K)(N/K)且(HK/K)∩(N/K)=(HK∩N)/K=(H∩N)K/K≤Φ(H)K/K≤Φ(HK/K),其中N/K◁◁G/K，因此HK/K在G/K中弱Φ-可补.

引理2[7]如果H是G的次正规子群，那么Soc(G)≤NG(H).

引理3[8]设G为可解的外超可解群，则G=MF(G)，M∩N=1,其中F(G)=CG(N)=N为G的唯一极小正规子群，|F(G)|=pα,α>1，F(G)为pα阶初等Abel-p群，M为G的超可解的极大子群.

引理4[9]设P是一个初等交换群，则Φ(P)=1.

引理5[6]两个幂零群之积可解.

2 主要结果

定理1设G为有限群，如果G的每个极大子群在G中弱Φ-可补，则G为超可解群.

证明假设定理不成立，并设G为极小阶反例.

1)G为可解群.由弱Φ-可补定义知G为非单群.设N为G的极小正规子群，由引理1知G/N满足定理的假设条件，对群阶作归纳假设得G/N是超可解群，因为超可解群系是饱和群系，所以N是唯一极小正规子群.令M为G的包含N的极大子群，由定理条件知存在G的次正规子群K，使得G=MK且M∩K≤Φ(M).设A为G的包含在K中的极小次正规子群，显然A是单群.

i)如果A⊄N，则A∩N=1,但由引理2及N的唯一性得N⊆NG(A),因此NA=N×A，所以A⊆CG(N).因为A≠1从而CG(N)≠1,由于N的极小性知N⊆CG(N),即N是交换群，从而得到G为可解群.

ii)如果A⊆N.因为N=A1×A2×…×At，其中A1≅A2≅…≅At且是单群.显然有A∈{A1,A2,…,At}，而A⊆M∩K≤Φ(M)，故A为可解群从而得到N也是可解群，即G为可解群.

2)导出矛盾.由1)和引理1知G为可解的外超可解群.由引理3知G=MF(G)，M∩F(G)=1,N=F(G)为G的唯一极小正规子群，|F(G)|=pα,α>1，F(G)为pα阶初等Abel-p群，M为G的超可解的极大子群并且Φ(G)=1.由文[6]知G可解必存在一个极大正规子群M1，由定理条件知M1在G中弱Φ-可补，于是存在G的次正规子群H，使得G=M1H且M1∩H≤Φ(M1)≤Φ(G)=1,从而有|H|=r,其中r为素数，即H为单群.而N为G的唯一极小正规子群，因此有N⊆M1,从而得到H∩N=1.又由引理2及N的唯一性得N⊆NG(H)，即NH=N×H，所以H⊆CG(N)=N.这与H∩N=1矛盾，说明这样的反例不存在，所以结论成立，即G为超可解群.

定理2设G为有限群，如果G的每个2-极大子群在G中弱Φ-可补，则G为超可解群.

证明假设定理不成立，并设G为极小阶反例.

1)G为可解群.事实上，若G的任意2-极大子群均为1，由文[6]易知G为可解群.以下假设G的2-极大子群不全为1.由引理1和定理1得到G的任意真子群均为超可解群.设A在G的2-极大子群且A≠1，有定理条件A在G中弱Φ-可补，于是存在G的次正规子群K，使得G=AK且A∩K≤Φ(A).因为A≠1故K是G的真子群，于是存在G的次正规列K=K0◁K1◁K2◁…◁Kt◁G,而G/Kt=AK/Kt=AKt/Kt≅A/A∩Kt为解的，从而得到G为可解群.

2)导出矛盾.由弱Φ-可补定义知G为非单群.设N为G的极小正规子群，如果|G/N|为素数，则G/N是超可解群.否则由引理1知G/N满足定理的假设条件，对群阶作归纳假设得G/N是超可解群.因此G为可解的外超可解群，由引理3知G=MF(G)，M∩F(G)=1,N=F(G)为G的唯一极小正规子群，|F(G)|=pα,α>1，F(G)为pα阶初等Abel-p群，M为G的超可解的极大子群.

i)若F(G)为G的极大子群，取F(G)的极大子群M1,则M1是G的2-极大子群.由定理的条件知M1在G中弱Φ-可补，于是存在G的次正规子群H，使得G=M1H且M1∩H≤Φ(M1).因为M1≠1故H是G的真子群，于是存在G的次正规列H=H0◁H1◁H2◁…◁Hr◁G,由唯一性和极大性知F(G)=Hr，从而得到G=M1H=F(G)H=F(G)，矛盾.

ii)若F(G)不为G的极大子群，取G的2-极大子群M1且满足F(G)⊆M1.同样存在G的次正规子群H，使得G=M1H且M1∩H≤Φ(M1).设B为G的包含在H中的极小次正规子群，显然B是单群.假设B⊄N，则B∩N=1,但由引理2及N=F(G)是G的唯一极小正规子群得N⊆NG(B),因此NB=N×B,所以B⊆CG(N)=N，这与假设矛盾，表明B⊆N，从而得到B⊆Φ(M1).因为N=B1×B2×…×Bn，其中B1≅B2≅…≅Bn是单的非交换群且次正规于G，所以B∈{B1,B2,…,Bn}，不妨设B=B1.M1=M1∩(MN)=(M∩M1)N=(M∩M1)B1B2…Bn=(M∩M1)B2…Bn，这个矛盾说明这样的反例不存在，所以结论成立，即G为超可解群.

定理3设G为有限群，A和B是G的子群且G=AB，A∈Hallπ(G)，B∈Hallπ′(G).如果A和B为G的超可解子群并且均在G中弱Φ-可补，则G为超可解群.

证明如果A=1或B=1,由条件已得G为超可解群.所以不妨设A≠1,B≠1.

假设定理不成立，并设G为极小阶反例.

1)G为可解群.不妨设2∈π，A和B均在G中弱Φ-可补，从而存在G的次正规子群K和H,使得G=AK=BH且A∩K≤Φ(A)，H∩B≤Φ(B).由于A≠1,B≠1，易知K和H均为G的真子群，故存在G的次正规列K=K0◁K1◁K2◁…◁Kt-1◁Kt=G,于是有G=AKt=AKt-1=…=AK1=AK0成立,从而得到G/Kt-1=Kt/Kt-1=AKt-1/Kt-1≅A/A∩Kt-1，Kt-1/Kt-2=Kt-1∩AKt-2/Kt-2=(A∩Kt-1)Kt-2/Kt-2≅A∩Kt-1/A∩Kt-2， 同理可得Kt-2/Kt-3≅A∩Kt-2/A∩Kt-3,…,K1/K0≅A∩K1/A∩K0，因为A是G的超可解子群所以Ki/Ki-1(i=1,2,…,t)均是可解群.

i)如果A∩K=1,则K是奇数阶群，由Feit-Thompson定理知K=K0为可解群，因此得到G也是可解群.

ii)若A∩K≠1.设|A|=n，|B|=m，其中n的素因子属于π,m的素因子属于π′，则|G|=nm.而|G|=|AKt-1|=|A||Kt-1|/|A∩Kt-1|，即|Kt-1| =m|A∩Kt-1| =mr1，其中|A∩Kt-1|=r1且r1是n因子.因为Kt-1◁G,故BKt-1是G中包含B的子群，从而有|BKt-1|=|B||Kt-1|/|B∩Kt-1|=mr2，其中|BKt-1|=mr2，r2是n因子.于是得到|B∩Kt-1|=mr1/r2，因为r1、r2都是n的因子，所以|B∩Kt-1|=m，这表明B⊆Kt-1.同样有G=AKt-2，而Kt-2◁Kt-1，从而得到BKt-2是G中包含B的子群.同上通过计算B∩Kt-2的阶等于m从而得到B⊆Kt-1，依此方法逐步可得B⊆K0=K.同理可得A⊆H.以下分别令N1=A∩K，N2=B∩H，L=K∩H.而且有|L:N1|=|H∩K:A∩K|∈π′,|L:N2|=|H∩K:B∩H|∈π,于是得到|L:N1|和|L:N2|互素，由文[6]知L=N1N2.又因为N1和N2均为幂零子群，由引理4知L是可解群并且是K的次正规子群，于是存在K的一次正规列L=L0◁L1◁…◁Lm=K.设P2为A的Sylow2-子群，显然P2也是G的Sylow2-子群.由文[9]知P2∩K为K的Sylow2-子群.又P2∩K⊆A∩K≤L，故Li/Li-1(i=1,2,…,m)都是奇数阶，由Feit-Thompson定理知K是可解的.从而得到G是可解群.

2)导出矛盾.令N为G的极小正规子群，由于G可解，N为初等交换p-子群，不妨设N⊆A.考虑商群G/N，显然有G/N=(A/N)(BN/N)且A/N和BN/NG都为G/N的超可解子群.由引理1知A/N和BN/NG均在G/N中弱Φ-可补，即G为可解的外超可解群.由引理3知G=MF(G)，M∩F(G)=1,N=F(G)为G的唯一极小正规子群，|F(G)|=pα,α>1，F(G)为pα阶初等Abel-p群.设T为G的包含在K中的极小次正规子群，显然T是单群.假设T⊄N，则T∩N=1,但由引理2及N=F(G)是G的唯一极小正规子群得N⊆NG(T),因此NT=N×T,所以T⊆CG(N)=N，与T⊄N的假设矛盾，表明T⊆N.因为N=T1×T2×…×Tn，其中T1≅T2≅…≅Tn且是单群.显然有T∈{T1,T2,…,Tn}，从而不妨设T=T1，则T1≤A∩K≤Φ(A),A=A∩(MN)=(M∩A)N=(M∩A)T1T2…Tn=(M∩A)T2…Tn，即A

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WeaklyΦ-supplementedSupgroupsandSupersolvabilityofFiniteGroups

QIU ZhaoFeng

(Wenzhou Vocational & Technical College, Wenzhou 325035, China)

A subgroupHof groupGis called weaklyΦ-supplemented inG, if there is a subnormal subgroupKofG, such thatG=HKandH∩K≤Φ(H), whereΦ(H) is the Frattini subgroup ofH. Using the effects of weaklyΦ-supplemented feature of subgroups on the structure of finite groups, the paper obtained some sufficient conditions for that finite groups were supersolvable groups.

weaklyΦ-supplemented subgroup; Frattini subgroup; supersolvable group; maximal subgroup

2013-05-25

邱招丰(1961—),男,讲师,主要从事有限群研究.E-mail:1979611870@qq.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.06.007

O152.1MSC201020B05;20F16

A

1674-232X(2013)06-0513-04