二十世纪混合数学教科书的先河——《布利氏新式算学教科书》之考察

陈 婷，吕世虎

（1.兰州城市学院 教育学院 基础教育研究所，甘肃 兰州 730070；2.西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070）

中国翻译的第一套经教育部审定通过的初中混合数学教科书，当属由美国数学教育家芝加哥大学的乔治·布利氏（E. R. Breslich）教授编撰的《布利氏新式算学教科书》（Breslich’s General Mathematics）.该套教科书共 3册，1920年起陆续译出，由商务印书馆出版.该套教科书的翻译对当时中国初中混合编排教科书的编写产生了重大影响，20世纪20年代中国自编的3套混合数学教科书都是在模仿此书的基础上编撰而成.但它所蕴含的意义由于原始版本的珍贵而尘封在故纸堆中没有得到相应的重视.文章通过对该套教科书的编写背景、教科书提纲、体例特点的回顾，以便从中汲取有益的经验和教训，对今天的课程改革提供一些启示和借鉴.

1 背景分析

20世纪初，在欧美掀起的数学教育改革运动中，废弃了以形式陶冶说为基础的分科主义的数学教育，倡导了融合主义（混合主义）的数学教育.其理由有以下两点：第一，分科主义的数学是枯燥无味的、困难的，不符合学生的能力.第二，在对现实世界的问题进行数学地考察时，分科主义数学的作用非常有限，而融合主义的数学将发挥更好的作用[1].

在这种改革背景下，美国数学教育家、芝加哥大学的乔治·布利氏教授根据美国数学会“中学算学教授法须彻底改造”的建议，进行“数科融合教授”实验后，于1906年打破几何、代数、三角的界限，统一编写了《布利氏新式算学教科书》[2].当时是这样介绍此书的，“以学生的经验心理为根据，由实验推原理，自原理定证法，用圆周法以明代数几何三角之关系，可以说是 20世纪中等数学教育的新作”[3].日本将此书译为《数学新主义》，中国自1920年起陆续译出该教科书，由商务印书馆出版.第一编于1920年由徐甘棠译，寿孝天校对；第二编于1922年5月由王自芸译，寿孝天校对；第三编于1924年8月由文亚文、唐楩献译述.供初中3个年级6个学期来使用，均为大三十二开本，封面朴实无图案，印刷清晰、装帧精美，书背印有书名、出版社.1923年1月经教育部审定，将此书作为中等学校及甲种实业学校算术科教学用书.教育部审定批语如下：“呈及不利氏新式算学教科书第一二册，均悉查，是书独开蹊径，融合代数几何三角各法，锯元提要，会通发挥，凭人事相关之问题解滞涩易忘之公式，批隙道穷曲类旁通，能使学者造诣于算术之境可获举一反三之效，其去墨守陈规，仅据理论法敷设之旧籍，实不可以道里计，第二编所述几何三角各题，随事引证，不拘一格，极运用变化之理至若措词之浅显习题之结构条分比节允称完备，译笔亦复明朗修洁，准予审定作为中等学校及甲种实业学校算术科用书.十二年一月三十一日”[4].

2 教科书提纲

【第一编】

第一章 直线；第二章 加法减法；第三章 方程；第四章 角；第五章 面积体积，乘法；第六章 角偶；第七章 平行线，空间中之线与平面；第八章 量空间之线，相似形；第九章 比例，变数，等比例；第十章 相合之三角形；第十一章 求作、对称、圆；第十二章 正数、负数、号例；第十三章 加法及减法；第十四章 乘法及除法；第十五章 特别积，劈因数，二次方程；第十六章 一次方程函一未知数之题；第十七章 含两个或多个未知数之直线方程；第十八章 公式；第十九章 温习及补题.

【第二编】

第一章 已授之假设，定理，求作法；第二章 证题法；第三章 消元法；第四章 四边形，角柱表面，二面角；第五章 等比例线段；第六章 等比例，劈因数，变数；第七章 相似多边形；第八章 三角形各边之关系，二次方程，根数；第九章 三角比、根数，含两元之方程；第十章 圆形；第十一章 用弧量角法；第十二章 圆内之等比例线段；第十三章 演算分数法；第十四章 不等式；第十五章 空间之线与平面，角，球体；第十六章 轨迹，会合线；第十七章 内接，外切，圆周长度；第十八章 面积，字母方程，劈因数；第十九章 多边形，圆，面积之等比例.

【第三编】

第一章 函数 含一元之方程；第二章 三角函数；第三章 一次方程；第四章 含一元之二次方程；第五章 劈因数法 分数；第六章 指数，根数，无理方程；第七章 对数 计算尺；第八章 三角形之解法 对数；第九章 几角诸函数间之关系；第十章 二项定理 级数；第十一章 含两元之方程系；第十二章 表面之面积；第十三章 体积；第十四章 多面角，四面体，球面多边形；第十五章 前两编几何学定理及假说提要.

3 教科书分析

3.1 教科书的整体结构

这套教科书的编排正如其名——“混合”，将算术、代数、几何和三角等在内容上相互独立，但彼此之间有着千丝万缕联系的内容，组成一个系统.译者在序言前对该书这样评价道：“近世教授算学，多墨守旧法，算术几何三角，累级而升，唯恐损越各科初级浅理虽多，然步骤既困，自难融会，聪明是塞，日力遂废，是书编撰，独出心裁，融合各法会通发挥，有尽去陈滓一炉而治之妙，实教科书至精之本.”这套教科书对教师和学生的要求都比较高，要求教师有较高的数学素养和基础，因为知识都采用“混合”编排，所以教师自己必须对各分支知识都特别熟悉，更要求教师理解各个知识点的内在联系，才能帮助学生融会贯通.由于当时也有很多学校教师水平参差不齐，一些师资力量相对薄弱，生源质量较差的学校采用“混合”教法有一些实际的困难，所以当时也出现了一些反对的声音.现将这套教科书的整体结构介绍如下.

《布利氏新式算学教科书 第一编》是初中第一年的算学课本，重点讲授代数知识，同时将几何等内容融会贯通于其中.使学生在一年的学习中，掌握一些最基本的代数、几何公式，会解包含两三个未知数的方程.其中19章内容中几何内容占了8章.

《布利氏新式算学教科书 第二编》是初中第二年的算学课本，重点讲授平面几何知识，同时将代数、三角等内容融会贯通于其中，也将立体几何融合在平面几何中讲授.第二编开始之前，专设第一章，对第一编中所讲到的几何知识全部进行罗列，对于没有学过第一编的学生而言，可以当成学习纲目，依次序重新学习，而对于已经学过第一编的学生可当成一次系统的复习.平面几何的知识，在这一编中全部讲完，与第一编相比，几何知识更注重理论证明.本编继续第一编讲解三角函数，用三角函数解直角三角形及其它一些实用性很强的问题，以及各种函数之间的关联.

《布利氏新式算学教科书 第三编》是初中第三年的算学课本，是在前两编的基础上，讲授完成中等学校学生应该学习的代数学、三角学与立体几何学.本编的主要目的是贯彻融合的主张，在各门数学内容中，取关系密切的内容，融合教授.例如要解三角的问题，必以对数为工具，而要讨论对数的相关知识，必先讲授指数定理.给出了二元一次方程组和一元二次方程的多种解法.例如用行列式解二元一次方程组；用消元法解多元一次方程组；用高阶行列式解多元一次方程组.用代入法，消元法，分解因式法，消常数法，换元法等解二元二次方程组.具体的方法解各种方程组，比用抽象的计算更为明晰，而且便于记忆.这一册的学习有助于学生掌握“数形结合”的重要思想，同时利用方程解决实际问题的能力得到进一步加强.第三编的最后一章，复习了之前所学的几何概念、公理和定理，既可作为第三编学习时的参考，又可作为学习完第三编之后的复习.这样设置的目的一方面为了学习的便利，便于学习者对于已学过的知识进行系统复习，避免了翻阅其它书的麻烦.最主要的原因是为了让学生对整个3编中所学到的几何知识有一个系统的把握，避免学到的只是一些零散的几何知识.重要的数学公式表，则附于书末.

3.2 教科书的特点

3.2.1 内容丰富

这套教科书采用混合编制，涉及到了算术、代数、几何和三角的各个方面，内容丰富.编者在“原序一”中指出这种混合编制的好处：“① 取算学各科性质最相近可互相发明者.贯串出之，习算之难，可释然无余.② 是书经同学教员评议讨论，删繁增要，务求明达，虽无阅历之讲师，亦能按序指授，无有凝滞，盖编次之良美，实臻实验之绝顶也.③ 心理研究，学务所重，是书取材，恰与学生心理相应，手捧耳聆，自能领悟.”最后总结道：“总而言之，实津逮初学之兴趣，启发思力之秘论也……此种编制之利益，在按心理的论理的原则，连续发展学者对于数学之疑识，其使学者领悟数学之意义与实用及科学的性质，教之分门学习，自然更加明了.此结果引起学者具继续研究数学之倾向.”这种编排有助于学生理解知识之间的内在联系，还能激发他们触类旁通，举一反三，培养其数学联想能力.

这套书的另一个突出特点就是习题丰富，在习题的设置中，大都是讲一两个概念或定理之后就安排至少5道习题，让学生在掌握了基本结论之后将其运用于解决具体问题.作者尤其重视学生应用知识解决实际问题的培养，在应用题方面用了很大篇幅，在每一个重要知识点的讲解后都安排各种实际问题.

这套教科书每章末都附加提要，这既可以使学生对于本章内容有系统地认识，而且容易指导学生记忆及复习.例如，《布利氏新式算学教科书 第一编》第二章“加法减法”结束后有以下提要：本章所授各项；本章所用记号；本章所用的公理；本章所用的例子的类型等.每卷的卷末都附有日常计算必要的各种数值表，实用主义色彩很浓厚.

3.2.2 注重代数与几何之间的融合并突出数形结合思想

这套教科书从第一编开始讲授几何与代数，基本上都以“代形参伍并授，时合时分，全看数理上的可能”.努力把代数知识、几何知识有机地“复合”为一个整体，达到你中有我，我中有你的效果，而不是仅仅“混合”，你还是你，我还是我.例如“在多项式乘多项式”一节中，对于式子分别用长方形的面积解释，即a+b、c+d分别为长方形两边之长.

这样的处理很巧妙，整套书中这样的例子比比皆是.这种混合编排，可以做到数形结合，使得有些知识显得生动形象，前后衔接自然.能够激发学生学习数学的兴趣，使学生明了各科之间相互的关联，能够在庞杂零碎的数学知识中得到有机统一的观念[2].杜佐周认为，“利用这种方法排列教科书，学生对于数学一科，必可更加有趣味；所得到的知识及技能，必可更加切于实用；个性方面的不同，亦必可更加容易补救.再者，用这种方法教学，无论学生将进而研究高深数学或其他各种职业，都可得到相当的益处.即使学生有中途辍学的，亦可无遗漏之恨.”[5]

这套教材在几何内容的处理上基本打破了欧氏几何公理体系，考虑更多的是知识点之间的衔接与融合，即如何实现由代数、几何、三角的融合与过渡.但从几何内容的分布来看，重视几何内容的编排.正如编者在“原序一”中指出，“是编多述几何，引人入胜，且能令学者舍入门之力，拾级而上，升堂入奥，直造玄妙.”

3.2.3 注重多学科内容的整合

在这套教科书中一方面穿插了许多历史知识，书内插入大量历史注释和历史人物，目的是扩大学生的知识面，激励学生学习的兴趣.例如，《布利氏新式算学教科书 第一编》共插有13幅名人像传，分别是奈端（Sir Isaac Newton, 1642—1727）；伟热他（Francois Viet, 1540—1603）；欧几里得（Euclid, 约公元前 330—公元前 275））；兑喇士（Tales, 公元前640—公元前542）；华利士（John Wallis, 1616—1703）；派达哥喇士（Pythagoras，公元前569—公元前500）；亚奇米德（Archimedes, 公元前287—公元前212）；佗达基利亚（Nicolo Tartaglia; 1500—1557）；巴斯加（Blaise Pascal, 1623—1662）；利安拿度（Leonardo of Pisa, 1175—1250)；拉果兰诸（Joseph Louis Lagrange, 1736—1813）；笛卡尔（1596—1650）；哀拉（Leonhard Euler, 1707—1783）.《布利氏新式算学教科书 第二编》共插有3幅名人像传，分别是喀莱（Felix Klein, 1849—1925）；弗而马（Pierre de Fermat, 1601—1665）；哥斯（Carl Friedrich Causs, 1777—1855）.《布利氏新式算学教科书 第三编》共插有6幅名人像传，分别是，来本之（Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646—1716）；罗华德雨（Guillaume Francois Antoine L’ Hopital, 1661—1704）；孟杰（Gaspard Monge, 1746—1818）；纳白雨（John Napier，1550—1617）；卡但（Cardan, 1501—1576）；贾法利利（Bonaventura Cavalieri, 1598—1647）.对每一个历史人物介绍他们的生平以及在数学上的贡献.

这套教科书中也插入了一些地理知识，物理现象，社会现象等，它们以不同的方式出现，有些出现在例题中，有些出现在习题中以及知识点的讲解中.这些内容与数学知识有机结合，使学生在接受到数学方法和思维训练的同时开拓视野，也说明数学在生活中无处不在.

4 结 束 语

回顾中国翻译的第一套初中混合数学教科书，能给中国现在的基础教育数学课程改革以许许多多的启示.正如罗德建在“傅种孙先生在北京师大附中”一文中指出的，“为什么上世纪二三十年代的数学教育能培养出那么多社会的栋梁之材，我想无论是那个时候的教师，教材，还是教法都是值得现在的我们去深思和总结的.”[6]当然，《布利氏新式算学教科书》也存在不足，例如，对数学的“整体性”考虑不足，把几种知识混为一体，学生难以学到系统的知识；难度过大，中学生接受困难等.所以，该教科书使用伊始，就引来了一些批评的声音.例如，余潜修认为，“该书材料太多，用作初中的教科书似乎有些不恰当，并且有许多地方不适合于中国的国情.”[7]匡互生于1924年3日11日撰写了“评中国现有的三部混合算学教科书”一文（刊载于1924年《春晖中学校刊》第五期），着力批评当时中国教育界一些教育家，不作认真研究而盲目主张仿效外国办法，实行初中算学课混合教授，并详细剖析了当时仅有的一个译本《布利氏新式算学教科书》的种种谬误，指出盲目提倡混合算学和译著不严肃，误人子弟的不当[8].因此，混合教学的尝试道路中还有大量的事情需要探索.例如，如何提高师资水平，以适应混编教科书教学的需要；如何打造一支混合数学教科书的编写队伍，将算术、代数、几何、三角等各个数学分支进行恰当而合理的融合，而不是拼盘式的混合；如何发挥考试的指挥棒作用，使得混合数学教科书有效实施等，详细论述可参见文[9].但瑕不掩瑜，作为中国翻译的第—套混合数学教科书，是20世纪中国初中数学首次进行混合教学改革的前奏，是对数学教育界分科教学的一次冲击.它所蕴含的意义正待有识之士的进一步挖掘和研究.

[1] 松宫哲夫.中国初中数学混合教授法的历史和现状（日本）[J].数学教育研究，1994，（24）：147-150.

[2] 陈婷.20世纪上半叶中国初中几何教科书的演变及其启示[J].教育学报，2009，5（2）：87-92.

[3] 张奠宙.中国现代数学史略[M].南宁：广西教育出版社，1993.

[4] 乔治·布利氏.布利氏新式算学教科书（第一编）[M].上海：商务印书馆，1920.

[5] 杜佐周.数学的心理[J].教育杂志，1926，18（5）：1-12.

[6] 罗德建.傅种孙先生在北京师大附中[J].数学通报，2008，（2）：11-25.

[7] 余潜修.中学算学采取混合教授法的商榷（上）[J].中等算学月刊，1933，1（1）：9-12.

[8] 中国人民政治协商会议邵阳市委员会文史资料研究委员会.邵阳文史（第十五辑）[C].邵阳，1991.

[9] 陈婷.20世纪20年代末中国初中混合数学教科书考察[J].教育学报，2010，6（2）：48-53.